Considere o intervalo simétrico I=[-a, a] e C^1(I)=f: I R ; f^prime é contínua em I (conjunto das funções reais definidas em I com derivadas contínuas em I ).
(a) Mostre que V=C^1(I) é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Estamos trabalhando com funções que são diferenciáveis uma vez no intervalo simétrico , e queremos verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaços vetoriais e como as operações de adição e multiplicação por escalar funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (como os números reais) é um conjunto de elementos (no nosso caso, funções) onde podemos adicionar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar, e essas operações obedecem a certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para :
  1. Fechamento sob adição: Se tomarmos duas funções e em , a soma também precisa estar em . Como a derivada de é , e ambas as derivadas são contínuas em , então está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar real, então também precisa estar em . A derivada de é , que é contínua em , então pertence a .

Passo 4

Além disso, precisamos verificar outras propriedades dos espaços vetoriais:
  1. Elemento neutro: A função zero, que atribui zero a todo em , está em porque sua derivada também é zero e contínua.
  2. Elementos inversos: Para cada em , existe uma função que também está em , já que a derivada de é , que é contínua.
  3. Associatividade e comutatividade da adição: A adição de funções é associativa e comutativa porque a soma de funções segue as mesmas propriedades dos números reais.
  4. Distributividade: A multiplicação de funções por escalares e a adição de funções são distributivas, cumprindo as propriedades requeridas.

Passo 5

Como todas essas propriedades são satisfeitas, podemos concluir que cumpre os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é de fato um espaço vetorial.

Resposta

Assim, mostramos que é um espaço vetorial.

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