Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
(a) Mostre que é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Estamos trabalhando com funções que são diferenciáveis uma vez no intervalo simétrico , e queremos verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaços vetoriais e como as operações de adição e multiplicação por escalar funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (como os números reais) é um conjunto de elementos (no nosso caso, funções) onde podemos adicionar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar, e essas operações obedecem a certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para :
  1. Fechamento sob adição: Se tomarmos duas funções e em , a soma também precisa estar em . Como a derivada de é , e ambas as derivadas são contínuas em , então está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar real, então também precisa estar em . A derivada de é , que é contínua em , então pertence a .

Passo 4

Além disso, precisamos verificar outras propriedades dos espaços vetoriais:
  1. Elemento neutro: A função zero, que atribui zero a todo em , está em porque sua derivada também é zero e contínua.
  2. Elementos inversos: Para cada em , existe uma função que também está em , já que a derivada de é , que é contínua.
  3. Associatividade e comutatividade da adição: A adição de funções é associativa e comutativa porque a soma de funções segue as mesmas propriedades dos números reais.
  4. Distributividade: A multiplicação de funções por escalares e a adição de funções são distributivas, cumprindo as propriedades requeridas.

Passo 5

Como todas essas propriedades são satisfeitas, podemos concluir que cumpre os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é de fato um espaço vetorial.

Resposta

Assim, mostramos que é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Verifique que os seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais:
(a) e .
Seja . Qual é o vetor nulo de ? Se , quem é ?
Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
(d) Mostre que e que . Neste caso dizemos que é soma direta de com e escrevemos .
Considere os vetores , e em . Seja o plano dado por .
© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de .