Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(a) Mostre que
é um espaço vetorial.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Estamos trabalhando com funções que são diferenciáveis uma vez no intervalo simétrico
, e queremos verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaços vetoriais e como as operações de adição e multiplicação por escalar funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (como os números reais) é um conjunto de elementos (no nosso caso, funções) onde podemos adicionar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar, e essas operações obedecem a certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.
Passo 3
Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para
:
-
Fechamento sob adição: Se tomarmos duas funções
e em , a soma também precisa estar em . Como a derivada de é , e ambas as derivadas são contínuas em , então está em . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar real, então também precisa estar em . A derivada de é , que é contínua em , então pertence a .
Passo 4
Além disso, precisamos verificar outras propriedades dos espaços vetoriais:
-
Elemento neutro: A função zero, que atribui zero a todo
em , está em porque sua derivada também é zero e contínua. -
Elementos inversos: Para cada
em , existe uma função que também está em , já que a derivada de é , que é contínua. -
Associatividade e comutatividade da adição: A adição de funções é associativa e comutativa porque a soma de funções segue as mesmas propriedades dos números reais.
-
Distributividade: A multiplicação de funções por escalares e a adição de funções são distributivas, cumprindo as propriedades requeridas.
Passo 5
Como todas essas propriedades são satisfeitas, podemos concluir que
cumpre os axiomas de um espaço vetorial. Portanto,
é de fato um espaço vetorial.
Resposta
Assim, mostramos que
é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Verifique que os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais:
(a) e
.
(a)
Seja
. Qual é o vetor nulo de
? Se
, quem é
?
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(d) Mostre que e que
. Neste caso dizemos que
é soma direta de
com
e escrevemos
.
(d) Mostre que
Considere os vetores
, e
em
. Seja
o plano dado por
.
© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de
.
© Determine a soma direta