Considere os vetores , e em . Seja o plano dado por .
© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a soma direta e mostrar que é um subespaço de . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de espaços vetoriais, subespaços e soma direta. Precisaremos utilizar definições de subespaços e condições para que duas subespaços formem uma soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a soma direta . A soma direta de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de , e isso só é uma soma direta se a interseção de e for apenas o vetor zero.

Passo 3

Vamos identificar os dois subespaços envolvidos:
  1. Subespaço :
    Isso define um plano em .
  2. Subespaço :
    Este é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor .

Passo 4

Para verificar se a soma é direta, precisamos checar se a interseção entre e é apenas o vetor zero. Suponha que exista um vetor que pertence a ambos os subespaços:
Além disso, ele deve satisfazer a condição de :
Isso significa que qualquer múltiplo de que pertença a também satisfaz a condição, mas como já está em , a interseção é .

Passo 5

Para que a soma seja direta, a interseção deve ser apenas o vetor zero. No nosso caso, a interseção não é apenas , mas todo . Portanto, e não formam uma soma direta.

Resposta

A soma direta não é possível porque a interseção entre e contém mais que apenas o vetor zero. Assim, não é um subespaço de .

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Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
(d) Mostre que e que . Neste caso dizemos que é soma direta de com e escrevemos .
Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
(a) Mostre que é um espaço vetorial.
Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de :
© Todos os vetores da forma , com .
Sejam o espaço vetorial das matrizes reais triangulares superiores e as bases e . Determine .