Considere os vetores
, e
em
. Seja
o plano dado por
.
© Determine a soma direta
e mostre que é um subespaço de
.
© Determine a soma direta
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a soma direta
e mostrar que é um subespaço de
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de espaços vetoriais, subespaços e soma direta. Precisaremos utilizar definições de subespaços e condições para que duas subespaços formem uma soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a soma direta
. A soma direta de dois subespaços
e
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
, e isso só é uma soma direta se a interseção de
e
for apenas o vetor zero.
Passo 3
Vamos identificar os dois subespaços envolvidos:
-
Subespaço
: Isso define um plano em. -
Subespaço
: Este é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor.
Passo 4
Para verificar se a soma é direta, precisamos checar se a interseção entre
e
é apenas o vetor zero. Suponha que exista um vetor
que pertence a ambos os subespaços:
Além disso, ele deve satisfazer a condição de
:
Isso significa que qualquer múltiplo de
que pertença a
também satisfaz a condição, mas como
já está em
, a interseção é
.
Passo 5
Para que a soma seja direta, a interseção deve ser apenas o vetor zero. No nosso caso, a interseção não é apenas
, mas todo
. Portanto,
e
não formam uma soma direta.
Resposta
A soma direta
não é possível porque a interseção entre
e
contém mais que apenas o vetor zero. Assim,
não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(d) Mostre que e que
. Neste caso dizemos que
é soma direta de
com
e escrevemos
.
(d) Mostre que
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(a) Mostre que é um espaço vetorial.
(a) Mostre que
Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de
:
© Todos os vetores da forma , com
.
© Todos os vetores da forma
Sejam
o espaço vetorial das matrizes reais
triangulares superiores e as bases
e
. Determine
.