Considere os vetores v1=(1,0,0,1,2), v2=(0,1,0,2,1), e v3=(0,0,1,0,0) em R^5. Seja P o plano dado por P=(x1, x2, x3, x4, x5) in R^5 mid x4+x5=3 x1.
© Determine a soma direta P oplus span(v3) e mostre que é um subespaço de R^5.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a soma direta e mostrar que é um subespaço de . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de espaços vetoriais, subespaços e soma direta. Precisaremos utilizar definições de subespaços e condições para que duas subespaços formem uma soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a soma direta . A soma direta de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de , e isso só é uma soma direta se a interseção de e for apenas o vetor zero.

Passo 3

Vamos identificar os dois subespaços envolvidos:
  1. Subespaço P = (x1, x2, x3, x4, x5) in R^5 mid x4 + x5 = 3x1 :
    span(v3) = lambda v3 mid lambda in R = (0, 0, lambda, 0, 0) mid lambda in R
    Isso define um plano em .
  2. Subespaço :
    Este é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor .

Passo 4

Para verificar se a soma é direta, precisamos checar se a interseção entre x = (0, 0, lambda, 0, 0) e x4 + x5 = 3x1 Rightarrow 0 + 0 = 3 cdot 0 Rightarrow 0 = 0 é apenas o vetor zero. Suponha que exista um vetor que pertence a ambos os subespaços:
Além disso, ele deve satisfazer a condição de :
Isso significa que qualquer múltiplo de que pertença a também satisfaz a condição, mas como já está em , a interseção é .

Passo 5

Para que a soma seja direta, a interseção deve ser apenas o vetor zero. No nosso caso, a interseção não é apenas , mas todo . Portanto, e não formam uma soma direta.

Resposta

A soma direta não é possível porque a interseção entre e contém mais que apenas o vetor zero. Assim, não é um subespaço de .

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