Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
(d) Mostre que e que . Neste caso dizemos que é soma direta de com e escrevemos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o espaço vetorial pode ser escrito como a soma direta de dois subespaços e . Isso significa que todo elemento de pode ser decomposto como a soma de um elemento de e outro de , e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que qualquer função pode ser escrita como , onde e . Vamos assumir que e são subespaços de definidos de forma que isso seja possível.

Passo 3

Vamos agora mostrar que . Isso significa que a única função que está em ambos os subespaços e é a função zero (a função que vale zero em todo o intervalo ). Se conseguirmos mostrar isso, estaremos garantindo que a soma é direta.

Passo 4

Para verificar , vamos pegar uma função genérica e tentar escrevê-la como . Dependendo de como e são definidos, geralmente fazemos uma decomposição que separa em partes que pertencem a cada subespaço. Por exemplo, se for o conjunto de funções pares e o conjunto de funções ímpares, então podemos escrever qualquer como soma de uma função par e uma função ímpar.

Passo 5

Agora, para mostrar que , assumimos que existe uma função que está em ambos os subespaços. Isso significa que pertence a e a ao mesmo tempo. Se conseguirmos provar que isso só acontece quando é a função zero, teremos concluído essa parte.

Passo 6

Com essas duas partes mostradas — que qualquer pode ser escrito como e que a única função comum a e é a zero — podemos concluir que é a soma direta de e .

Resposta

Assim, demonstramos que , ou seja, é soma direta de com .

Exercícios relacionados

Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
(a) Mostre que é um espaço vetorial.
Verifique que os seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais:
(a) e .
Considere os vetores , e em . Seja o plano dado por .
© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de .
Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de :
© Todos os vetores da forma , com .