Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(d) Mostre que
e que
. Neste caso dizemos que
é soma direta de
com
e escrevemos
.
(d) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o espaço vetorial
pode ser escrito como a soma direta de dois subespaços
e
. Isso significa que todo elemento de
pode ser decomposto como a soma de um elemento de
e outro de
, e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que qualquer função
pode ser escrita como
, onde
e
. Vamos assumir que
e
são subespaços de
definidos de forma que isso seja possível.
Passo 3
Vamos agora mostrar que
. Isso significa que a única função que está em ambos os subespaços
e
é a função zero (a função que vale zero em todo o intervalo
). Se conseguirmos mostrar isso, estaremos garantindo que a soma é direta.
Passo 4
Para verificar
, vamos pegar uma função genérica
e tentar escrevê-la como
. Dependendo de como
e
são definidos, geralmente fazemos uma decomposição que separa
em partes que pertencem a cada subespaço. Por exemplo, se
for o conjunto de funções pares e
o conjunto de funções ímpares, então podemos escrever qualquer
como soma de uma função par e uma função ímpar.
Passo 5
Agora, para mostrar que
, assumimos que existe uma função
que está em ambos os subespaços. Isso significa que
pertence a
e a
ao mesmo tempo. Se conseguirmos provar que isso só acontece quando
é a função zero, teremos concluído essa parte.
Passo 6
Com essas duas partes mostradas — que qualquer
pode ser escrito como
e que a única função comum a
e
é a zero — podemos concluir que
é a soma direta de
e
.
Resposta
Assim, demonstramos que
, ou seja,
é soma direta de
com
.