Verifique que os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, a gente vai verificar se um certo conjunto de vetores em
é um subespaço vetorial. O enunciado define
como todos os vetores
que satisfazem as condições
e
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo nas condições:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Suponha que
e
estão em
. Então:
A soma
deve satisfazer:
Então,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em
e multiplicarmos por qualquer escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar qualquer. Então:
Verificando as condições:
Portanto,
também está em
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
. Qual é o vetor nulo de
? Se
, quem é
?
Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar:
.
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(a) Mostre que é um espaço vetorial.
(a) Mostre que
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(d) Mostre que e que
. Neste caso dizemos que
é soma direta de
com
e escrevemos
.
(d) Mostre que