Verifique que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços vetoriais:
(a) W=(x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1+x2=0 e x3-x4=0.

Passo 1

Beleza, a gente vai verificar se um certo conjunto de vetores em é um subespaço vetorial. O enunciado define como todos os vetores que satisfazem as condições e . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 + 0 = 0 (verdadeiro) . O vetor zero em 0 - 0 = 0 (verdadeiro) é . Substituindo nas condições:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se u1 + u2 = 0 e u3 - u4 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em v1 + v2 = 0 e v3 - v4 = 0 , a soma deles também deve estar em (u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) = 0 + 0 = 0 . Suponha que (u3 + v3) - (u4 + v4) = (u3 - u4) + (v3 - v4) = 0 + 0 = 0 e estão em . Então:
A soma deve satisfazer:
Então, também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot u = (c u1, c u2, c u3, c u4) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em (c u1) + (c u2) = c(u1 + u2) = c cdot 0 = 0 e multiplicarmos por qualquer escalar (c u3) - (c u4) = c(u3 - u4) = c cdot 0 = 0 , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar qualquer. Então:
Verificando as condições:
Portanto, também está em .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de .

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