Verifique que os seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais:
(a) e .

Passo 1

Beleza, a gente vai verificar se um certo conjunto de vetores em é um subespaço vetorial. O enunciado define como todos os vetores que satisfazem as condições e . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo nas condições:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Suponha que e estão em . Então:
A soma deve satisfazer:
Então, também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em e multiplicarmos por qualquer escalar , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar qualquer. Então:
Verificando as condições:
Portanto, também está em .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de .

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(a) Mostre que é um espaço vetorial.
Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
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