Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de
:
© Todos os vetores da forma
, com
.
© Todos os vetores da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teorema de Subespaço e verificar se o conjunto de vetores da forma
, com a condição
, é um subespaço de
. Vamos precisar lembrar quais são os critérios do Teorema de Subespaço para checar isso.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição: se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- É fechado para multiplicação por escalar: se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos conferir cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor zero: O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz
.
Substituindo:
→
. Então, o vetor zero está no conjunto. ✅
Passo 4
2. Fechado para adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
onde
,
onde
.
Somando
.
Precisamos verificar se
:
Substituindo:
.
Substituindo:
Então, a soma está no conjunto. Tudo certo! ✅
Passo 5
3. Fechado para multiplicação por escalar: Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto
, com
, e um escalar
.
Multiplicando:
.
Precisamos verificar se
:
Substituindo :
.
Substituindo
Portanto, o vetor multiplicado também está no conjunto. Tudo certo! ✅
Resposta
Como o conjunto satisfaz todas as três condições do Teorema de Subespaço, ele é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
, e
em
. Seja
o plano dado por
.
© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de
.
© Determine a soma direta
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
(d) Mostre que e que
. Neste caso dizemos que
é soma direta de
com
e escrevemos
.
(d) Mostre que
Sejam
o espaço vetorial das matrizes reais
triangulares superiores e as bases
e
. Determine
.
Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de
.