Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de :
© Todos os vetores da forma , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teorema de Subespaço e verificar se o conjunto de vetores da forma , com a condição , é um subespaço de . Vamos precisar lembrar quais são os critérios do Teorema de Subespaço para checar isso.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição: se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. É fechado para multiplicação por escalar: se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos conferir cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz .
Substituindo:
. Então, o vetor zero está no conjunto. ✅

Passo 4

2. Fechado para adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
onde ,
onde .
Somando .
Precisamos verificar se :
Substituindo:
.
Então, a soma está no conjunto. Tudo certo! ✅

Passo 5

3. Fechado para multiplicação por escalar: Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto , com , e um escalar .
Multiplicando: .
Precisamos verificar se :
Substituindo :
.
Portanto, o vetor multiplicado também está no conjunto. Tudo certo! ✅

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições do Teorema de Subespaço, ele é um subespaço de .

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© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de .
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(d) Mostre que e que . Neste caso dizemos que é soma direta de com e escrevemos .
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Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de .