Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
© Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
e
é o conjunto de funções reais definidas em
com derivadas contínuas. Basicamente, vamos verificar se
satisfaz os critérios para ser um subespaço vetorial, usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser subespaço vetorial de
, ele precisa cumprir três condições:
- Não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Não vazio:
Precisamos mostrar que o vetor zero está em
. O vetor zero, nesse caso, é a função
para todo
.
Vamos verificar se
:
Então,
pertence a
. Portanto,
não está vazio.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Se
e
estão em
, ou seja:
Queremos mostrar que
também está em
, ou seja:
Vamos calcular:
Portanto,
também satisfaz a condição e está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se
está em
e
é um escalar, queremos mostrar que
está em
.
Vamos verificar:
Assim,
também satisfaz a condição e pertence a
.
Resposta
Concluímos que
atende a todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de
. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Sobre uma elipse E, sabe-se que:
- o centro tem coordenadas
; - a excentricidade é igual a 0.5 ;
- a reta focal é paralela ao eixo
; - o ponto
pertence a E.
Complete:
(a) O eixo maior mede 10,06
Verdadeiro ou falso?
é
é LD.
Determine,em cada caso, se os pontos
e
dados abaixo são vértices de um triângulo.
(a) e
;
(a)