Considere o intervalo simétrico I=[-a, a] e C^1(I)=f: I R ; f^prime é contínua em I (conjunto das funções reais definidas em I com derivadas contínuas em I ).
© Mostre que W2=f in C^1(I) ; f(-x)=-f(x) forall x in I é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, e é o conjunto de funções reais definidas em com derivadas contínuas. Basicamente, vamos verificar se satisfaz os critérios para ser um subespaço vetorial, usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser subespaço vetorial de , ele precisa cumprir três condições:
  1. Não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Não vazio:
Precisamos mostrar que o vetor zero está em f(-x) = 0 = -0 = -f(x) . O vetor zero, nesse caso, é a função para todo .
Vamos verificar se :
Então, pertence a . Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Se f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x) estão em (f + g)(-x) = - (f + g)(x) , ou seja:
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + -g(x) = -(f(x) + g(x)) = - (f + g)(x)
Queremos mostrar que também está em , ou seja:
Vamos calcular:
Portanto, também satisfaz a condição e está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se (c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot (-f(x)) = -c cdot f(x) = - (c cdot f)(x) está em e é um escalar, queremos mostrar que está em .
Vamos verificar:
Assim, também satisfaz a condição e pertence a .

Resposta

Concluímos que atende a todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de . Portanto, é um subespaço vetorial de .

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