Verdadeiro ou falso? (u, v, w) é LD Rightarrow(u, v) é LD.

Passo 1

Então, temos a afirmação: “Se (u, v, w) é linearmente dependente, então (u, v) também é linearmente dependente.” Vamos usar o conteúdo de dependência linear para entender se isso é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe um conjunto de escalares, não todos zero, que satisfaz a equação:
au + bv + cw = 0

Passo 3

Agora, se temos que (u, v, w) é linearmente dependente, isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser expresso como uma combinação dos outros dois. Por exemplo, podemos ter:
w = au + bv
para alguns escalares e .

Passo 4

Vamos analisar agora o conjunto menor (u, v). Para esse conjunto ser linearmente dependente, um dos vetores deve ser múltiplo do outro, ou seja:
v = cu ou u = dv
para algum escalar ou .

Passo 5

Entretanto, mesmo que (u, v, w) seja dependente, isso não necessariamente implica que (u, v) seja dependente. Podemos ter que e são independentes entre si, mas depende deles. Por exemplo, se e e são independentes, então apenas o trio é dependente, mas o par é independente.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados