Verifique que [1-t^3,(1-t)^2, 1-t, 1]=P3. O conjunto 1-t^3,(1-t)^2, 1-t, 1 é uma base para P3 ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. A questão nos pede para verificar se o conjunto de polinômios é igual ao espaço , que representa todos os polinômios de grau no máximo 3. Além disso, queremos saber se esse conjunto é uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Espaço Vetorial: Um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) que podem ser adicionados e multiplicados por escalar.
  • Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial.
  • Linearmente Independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Vamos seguir passo a passo para verificar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os polinômios fornecidos realmente pertencem a . O espaço inclui todos os polinômios com grau até 3, ou seja, polinômios da forma , onde são coeficientes reais.
Analisando cada polinômio:
  • : Grau 3
  • : Grau 2
  • : Grau 1
  • : Grau 0
Todos estão dentro de , já que nenhum excede o grau 3.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto a(1 - t^3) + b(1 - t)^2 + c(1 - t) + d(1) = p(t) gera todo o espaço a(1 - t^3) + b(1 - 2t + t^2) + c(1 - t) + d = (a + b + c + d) + (-2b - c)t + bt^2 - at^3 . Isso significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios.
Para isso, podemos construir uma combinação linear genérica:
Onde é qualquer polinômio em .
Desenvolvendo:
Para que isso cubra todos os polinômios em , precisamos que os coeficientes sejam ajustáveis para qualquer .

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para garantir que podemos atingir qualquer polinômio em a + b + c + d = a0 -2b - c = a1 b = a2 -a = a3 :
-2a2 - c = a1 implies c = -2a2 - a1
Resolvendo esse sistema:
  • De -a3 + a2 + (-2a2 - a1) + d = a0 implies -a3 - a2 - a1 + d = a0 implies d = a0 + a1 + a2 + a3 , temos diretamente.
  • De , temos .
  • Substituindo em :
  • Finalmente, substituindo na primeira equação:
Isso mostra que podemos encontrar valores para para qualquer , o que significa que o conjunto gera todo o .

Passo 5

Para concluir que o conjunto é uma base, precisamos também verificar se os polinômios são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio zero é quando todos os coeficientes são zero.
Consideremos a equação:
a(1 - t^3) + b(1 - t)^2 + c(1 - t) + d(1) = 0
Desenvolvendo, temos:
(a + b + c + d) + (-2b - c)t + bt^2 - at^3 = 0
Para que isso seja igual a zero para todo a + b + c + d = 0 -2b - c = 0 b = 0 -a = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo:
  • De , temos .
  • De , temos .
  • Substituindo em , obtemos .
  • Substituindo na primeira equação, .
Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para , pois ele é linearmente independente e gera todo o espaço .

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