Determine,em cada caso, se os pontos e dados abaixo são vértices de um triângulo.
(a) e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os pontos , e formam um triângulo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos checar se esses pontos não estão alinhados em uma mesma reta, ou seja, se são não colineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Se três pontos estão na mesma reta, então eles não conseguem formar um triângulo. Para verificar isso, vamos calcular os vetores que ligam esses pontos e ver se eles são proporcionais (ou seja, se um é múltiplo do outro).
Passo 3
Vamos calcular o vetor e o vetor :
Passo 4
Agora, para ver se os vetores e são proporcionais, ou seja, se existe um número tal que:
Vamos comparar as componentes:
Como não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as componentes, os vetores não são proporcionais.
Passo 5
Outra forma de confirmar isso é calcular o produto vetorial . Se os vetores forem paralelos, o produto vetorial será zero. Vamos calcular:
Como o resultado não é o vetor zero, os vetores e não são paralelos.
Resposta
Os pontos , e são vértices de um triângulo, pois não estão alinhados em uma mesma reta.