Determine,em cada caso, se os pontos A, B e C dados abaixo são vértices de um triângulo.
(a) A=(1,2,3), B=(3,-1,0) e C=(1,3,5);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os pontos , e formam um triângulo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos checar se esses pontos não estão alinhados em uma mesma reta, ou seja, se são não colineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Se três pontos estão na mesma reta, então eles não conseguem formar um triângulo. Para verificar isso, vamos calcular os vetores que ligam esses pontos e ver se eles são proporcionais (ou seja, se um é múltiplo do outro).

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB = B - A = (3-1,, -1-2,, 0-3) = (2,, -3,, -3) e o vetor AC = C - A = (1-1,, 3-2,, 5-3) = (0,, 1,, 2) :

Passo 4

Agora, para ver se os vetores AB = k cdot AC e 2 = k cdot 0 Rightarrow k não existe (divisão por zero impossível) são proporcionais, ou seja, se existe um número tal que:
Vamos comparar as componentes:
ããí
Como não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as componentes, os vetores não são proporcionais.

Passo 5

Outra forma de confirmar isso é calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k 2 & -3 & -3 0 & 1 & 2 = i((-3)(2) - (-3)(1)) - j((2)(2) - (-3)(0)) + k((2)(1) - (-3)(0)) . Se os vetores forem paralelos, o produto vetorial será zero. Vamos calcular:
= i(-6 + 3) - j(4 - 0) + k(2 - 0)
= i(-3) - j(4) + k(2)
= (-3, -4, 2)
Como o resultado não é o vetor zero, os vetores e não são paralelos.

Resposta

Os pontos , e são vértices de um triângulo, pois não estão alinhados em uma mesma reta.

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