Sobre uma elipse E, sabe-se que:
- o centro tem coordenadas
;
- a excentricidade é igual a 0.5 ;
- a reta focal é paralela ao eixo
;
- o ponto
pertence a E.
Complete:
(a) O eixo maior mede 10,06
Complete:
(a) O eixo maior mede 10,06
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Estamos trabalhando com uma elipse que tem o centro em
. A excentricidade da elipse é
, e a reta focal é paralela ao eixo
(eixo horizontal). Além disso, sabemos que o ponto
pertence à elipse. Nosso objetivo neste exercício é descobrir o comprimento do eixo maior da elipse.
Estamos trabalhando com uma elipse
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar conceitos de geometria analítica relacionados às equações das elipses, especialmente a forma padrão da equação da elipse e a relação entre os parâmetros (semi-eixo maior),
(semi-eixo menor) e
(distância do centro aos focos).
Vamos utilizar conceitos de geometria analítica relacionados às equações das elipses, especialmente a forma padrão da equação da elipse e a relação entre os parâmetros
O que Vamos Precisar:
- Equação padrão da elipse com eixo maior paralelo ao
. - Relação entre excentricidade (
), semi-eixo maior ( ) e distância focal ( ). - Substituição de coordenadas de um ponto conhecido na equação da elipse para encontrar
.
Passo 2
Entendendo a Equação da Elipse:
Como a reta focal é paralela ao eixo , a elipse está orientada horizontalmente. A forma padrão da equação da elipse nesse caso é:
Como a reta focal é paralela ao eixo
Onde:
-
são as coordenadas do centro da elipse. -
é o semi-eixo maior. -
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Identificando os Valores Conhecidos:
Sabemos que o centro , então substituímos na equação:
Sabemos que o centro
Também sabemos que a excentricidade
. A excentricidade está relacionada com
e
pela fórmula:
Onde
é a distância do centro a cada foco.
Passo 4
Relacionando
e
:
Com , temos:
Com
Além disso, sabemos que em uma elipse:
Substituindo
:
Passo 5
Utilizando o Ponto Conhecido na Elipse:
Sabemos que o ponto pertence à elipse. Vamos substituir
e
na equação da elipse:
Sabemos que o ponto
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
em Termos de
:
Lembrando que , substituímos na equação:
Lembrando que
Calculando a segunda fração:
Portanto, a equação fica:
Passo 7
Somando as Frações:
Para somar as frações, temos o mesmo denominador:
Para somar as frações, temos o mesmo denominador:
Então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Então,
Passo 9
Calculando o Comprimento do Eixo Maior:
O eixo maior é dado por :
O eixo maior é dado por
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
O eixo maior mede aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Sobre uma elipse E, sabe-se que:
- o centro tem coordenadas
; - a excentricidade é igual a 0.5 ;
- a reta focal é paralela ao eixo
; - o ponto
pertence a E.
Complete:
© Seé uma equação para E, então: ,
Considere o intervalo simétrico
e
é contínua em
(conjunto das funções reais definidas em
com derivadas contínuas em
).
© Mostre que é um subespaço vetorial de
.
© Mostre que
Verdadeiro ou falso?
é
é LD.