Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas ;
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo ;
  • o ponto pertence a E.
    Complete:
    (a) O eixo maior mede 10,06

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos trabalhando com uma elipse que tem o centro em . A excentricidade da elipse é , e a reta focal é paralela ao eixo (eixo horizontal). Além disso, sabemos que o ponto pertence à elipse. Nosso objetivo neste exercício é descobrir o comprimento do eixo maior da elipse.
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar conceitos de geometria analítica relacionados às equações das elipses, especialmente a forma padrão da equação da elipse e a relação entre os parâmetros (semi-eixo maior), (semi-eixo menor) e (distância do centro aos focos).
O que Vamos Precisar:
  • Equação padrão da elipse com eixo maior paralelo ao .
  • Relação entre excentricidade ( ), semi-eixo maior ( ) e distância focal ( ).
  • Substituição de coordenadas de um ponto conhecido na equação da elipse para encontrar .

Passo 2

Entendendo a Equação da Elipse:
Como a reta focal é paralela ao eixo , a elipse está orientada horizontalmente. A forma padrão da equação da elipse nesse caso é:
Onde:
  • são as coordenadas do centro da elipse.
  • é o semi-eixo maior.
  • é o semi-eixo menor.

Passo 3

Identificando os Valores Conhecidos:
Sabemos que o centro , então substituímos na equação:
Também sabemos que a excentricidade . A excentricidade está relacionada com e pela fórmula:
Onde é a distância do centro a cada foco.

Passo 4

Relacionando e :
Com , temos:
Além disso, sabemos que em uma elipse:
Substituindo :

Passo 5

Utilizando o Ponto Conhecido na Elipse:
Sabemos que o ponto pertence à elipse. Vamos substituir e na equação da elipse:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo em Termos de :
Lembrando que , substituímos na equação:
Calculando a segunda fração:
Portanto, a equação fica:

Passo 7

Somando as Frações:
Para somar as frações, temos o mesmo denominador:
Então:

Passo 8

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Então,

Passo 9

Calculando o Comprimento do Eixo Maior:
O eixo maior é dado por :
Arredondando para duas casas decimais:

Resposta

O eixo maior mede aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas ;
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo ;
  • o ponto pertence a E.
    Complete:
    © Se é uma equação para E, então: ,
Considere o intervalo simétrico e é contínua em (conjunto das funções reais definidas em com derivadas contínuas em ).
© Mostre que é um subespaço vetorial de .
Verdadeiro ou falso? é é LD.