Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-2,1);
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo O x;
  • o ponto (0,5) pertence a E.
    Complete:
    (a) O eixo maior mede 10,06 square

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos trabalhando com uma elipse que tem o centro em . A excentricidade da elipse é , e a reta focal é paralela ao eixo (eixo horizontal). Além disso, sabemos que o ponto pertence à elipse. Nosso objetivo neste exercício é descobrir o comprimento do eixo maior da elipse.
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar conceitos de geometria analítica relacionados às equações das elipses, especialmente a forma padrão da equação da elipse e a relação entre os parâmetros (semi-eixo maior), (semi-eixo menor) e (distância do centro aos focos).
O que Vamos Precisar:
  • Equação padrão da elipse com eixo maior paralelo ao .
  • Relação entre excentricidade ( ), semi-eixo maior ( ) e distância focal ( ).
  • Substituição de coordenadas de um ponto conhecido na equação da elipse para encontrar .

Passo 2

Entendendo a Equação da Elipse:
Como a reta focal é paralela ao eixo (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , a elipse está orientada horizontalmente. A forma padrão da equação da elipse nesse caso é:
Onde:
  • são as coordenadas do centro da elipse.
  • é o semi-eixo maior.
  • é o semi-eixo menor.

Passo 3

Identificando os Valores Conhecidos:
Sabemos que o centro (x + 2)^2a^2 + (y - 1)^2b^2 = 1 , então substituímos na equação:
e = ca
Também sabemos que a excentricidade . A excentricidade está relacionada com e pela fórmula:
Onde é a distância do centro a cada foco.

Passo 4

Relacionando 0,5 = ca implies c = 0,5a e b^2 = a^2 - c^2 :
Com b^2 = a^2 - (0,5a)^2 = a^2 - 0,25a^2 = 0,75a^2 , temos:
Além disso, sabemos que em uma elipse:
Substituindo :

Passo 5

Utilizando o Ponto Conhecido na Elipse:
Sabemos que o ponto (0 + 2)^2a^2 + (5 - 1)^2b^2 = 1 pertence à elipse. Vamos substituir 4a^2 + 16b^2 = 1 e na equação da elipse:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo 4a^2 + 160,75a^2 = 1 em Termos de 160,75a^2 = 1634a^2 = 16 times 43a^2 = 643a^2 :
Lembrando que 4a^2 + 643a^2 = 1 , substituímos na equação:
Calculando a segunda fração:
Portanto, a equação fica:

Passo 7

Somando as Frações:
Para somar as frações, temos o mesmo denominador:
4 times 3 + 643a^2 = 12 + 643a^2 = 763a^2
Então:
763a^2 = 1

Passo 8

Resolvendo para 76 = 3a^2 implies a^2 = 763 approx 25,333 :
Multiplicando ambos os lados por :
Então,

Passo 9

Calculando o Comprimento do Eixo Maior:
O eixo maior é dado por 2a = 2 times 5,033 approx 10,066 :
2a approx 10,06 unidades
Arredondando para duas casas decimais:

Resposta

O eixo maior mede aproximadamente unidades.

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