Considere uma isometria e o plano que passa por um ponto de , ortogonal ao vetor . Prove que é o plano que passa por ortogonal ao vetor .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma isometria que é a composição de uma translação e uma transformação . Além disso, temos um plano que passa por um ponto e é perpendicular a um vetor . A missão é mostrar que, ao aplicar a isometria no plano , a gente obtém um novo plano que passa pelo ponto transformado e é perpendicular ao vetor transformado . Para resolver isso, vamos precisar entender como isometrias funcionam, especialmente como elas afetam pontos, vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma isometria é uma transformação que preserva as distâncias entre os pontos. No caso, significa que primeiro aplicamos a transformação e depois a translação . A transformação pode ser, por exemplo, uma rotação ou uma reflexão, enquanto simplesmente desloca todo o espaço numa certa direção.

Passo 3

Agora, vamos focar no plano . Esse plano é definido por passar pelo ponto e ser perpendicular ao vetor . Matematicamente, podemos descrever como o conjunto de todos os pontos que satisfazem:
onde representa o produto escalar. Isso significa que qualquer vetor no plano é perpendicular a .

Passo 4

Vamos aplicar a isometria no plano . Como , primeiro aplicamos em cada ponto de . A transformação preserva a perpendicularidade, então o plano transformado por será perpendicular a e passará pelo ponto .
Em seguida, aplicamos a translação . A translação desloca todo o espaço sem alterar a orientação ou a perpendicularidade, então o plano resultante após será perpendicular a e passará pelo ponto , que é exatamente .

Passo 5

Portanto, ao aplicar a isometria no plano , obtemos um novo plano que:
  • Passa pelo ponto (já que traduzimos por ).
  • É perpendicular ao vetor (pois preserva a perpendicularidade e não altera a direção dos vetores).

Resposta

Assim, provamos que é o plano que passa por e é perpendicular ao vetor .

Exercícios relacionados

Se indica translação por e uma transformação ortogonal, verifique que .
Seja definida por
(b) T é injetora? T é sobrejetora? (justifique!)
Verifique que a isometria inverte orientação.
Determine a curva cuja curvatura é dada pela função , , e a torção .