Considere uma isometria
e
o plano que passa por um ponto
de
, ortogonal ao vetor
. Prove que
é o plano que passa por
ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma isometria
que é a composição de uma translação
e uma transformação
. Além disso, temos um plano
que passa por um ponto
e é perpendicular a um vetor
. A missão é mostrar que, ao aplicar a isometria
no plano
, a gente obtém um novo plano que passa pelo ponto transformado
e é perpendicular ao vetor transformado
. Para resolver isso, vamos precisar entender como isometrias funcionam, especialmente como elas afetam pontos, vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma isometria é uma transformação que preserva as distâncias entre os pontos. No caso,
significa que primeiro aplicamos a transformação
e depois a translação
. A transformação
pode ser, por exemplo, uma rotação ou uma reflexão, enquanto
simplesmente desloca todo o espaço numa certa direção.
Passo 3
Agora, vamos focar no plano
. Esse plano é definido por passar pelo ponto
e ser perpendicular ao vetor
. Matematicamente, podemos descrever
como o conjunto de todos os pontos
que satisfazem:
onde
representa o produto escalar. Isso significa que qualquer vetor
no plano
é perpendicular a
.
Passo 4
Vamos aplicar a isometria
no plano
. Como
, primeiro aplicamos
em cada ponto de
. A transformação
preserva a perpendicularidade, então o plano transformado por
será perpendicular a
e passará pelo ponto
.
Em seguida, aplicamos a translação
. A translação desloca todo o espaço sem alterar a orientação ou a perpendicularidade, então o plano resultante após
será perpendicular a
e passará pelo ponto
, que é exatamente
.
Passo 5
Portanto, ao aplicar a isometria
no plano
, obtemos um novo plano que:
- Passa pelo ponto
(já que traduzimos por ). - É perpendicular ao vetor
(pois preserva a perpendicularidade e não altera a direção dos vetores).
Resposta
Assim, provamos que
é o plano que passa por
e é perpendicular ao vetor
.
Exercícios relacionados
Se
indica translação por
e
uma transformação ortogonal, verifique que
.
Seja
definida por
(b) T é injetora? T é sobrejetora? (justifique!)
Verifique que a isometria
inverte orientação.
Determine a curva cuja curvatura é dada pela função
,
, e a torção
.