Seja T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z)
(b) T é injetora? T é sobrejetora? (justifique!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar se a transformação linear T(x, y, z) = (x - y - 2z, , -x + 2y + z, , x - 3z) definida por
é injetora e sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, além de conceitos de injetividade e sobrejetividade. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é injetora. Uma transformação linear é injetora se cada vetor do espaço de saída for atingido por no máximo um vetor do espaço de entrada. Em termos simples, isso significa que se , então necessariamente .
Para testar isso, vamos verificar se o núcleo da transformação (o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Se sim, então é injetora.

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo de x - y - 2z = 0 -x + 2y + z = 0 x - 3z = 0 , ou seja, resolver a equação :
Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Agora, substituindo e na segunda equação: , que é sempre verdadeira.
Isso mostra que qualquer vetor do tipo pertence ao núcleo de .

Passo 4

Como existem infinitas soluções para além do vetor zero, isso significa que o núcleo de não é apenas o vetor zero. Portanto, não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se todos os vetores do espaço de saída são atingidos por pelo menos um vetor do espaço de entrada. Ou seja, o espaço imagem de deve ser igual ao espaço de chegada .
Para verificar isso, vamos calcular o posto da matriz associada a . Se o posto for igual a 3 (dimensão do espaço de chegada), então é sobrejetora.

Passo 6

A matriz associada a A = 1 & -1 & -2 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3 é:
1 & -1 & -2 0 & 1 & -1 2 & -1 & -5
Vamos calcular o posto dessa matriz realizando operações de linha para trazê-la à forma escalonada.
  1. Primeira operação: Some a primeira linha à segunda e à terceira para eliminar o primeiro elemento das linhas 2 e 3.
1 & -1 & -2 0 & 1 & -1 0 & 1 & -1
  1. Segunda operação: Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o primeiro elemento da terceira linha.
1 & -1 & -2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0
  1. Terceira operação: Subtraia a segunda linha da terceira linha para simplificar ainda mais.

Passo 7

Após as operações, vemos que a matriz escalonada tem dois pivôs (os elementos não nulos na diagonal). Isso significa que o posto da matriz é 2.

Passo 8

Como o posto de é 2, que é menor que 3 (dimensão de ), o espaço imagem de é um subespaço de dimensão 2 em . Portanto, nem todos os vetores de são atingidos por , ou seja, não é sobrejetora.

Resposta

A transformação não é injetora e não é sobrejetora.

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