Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar se a transformação linear definida por
é injetora e sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, além de conceitos de injetividade e sobrejetividade. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se é injetora. Uma transformação linear é injetora se cada vetor do espaço de saída for atingido por no máximo um vetor do espaço de entrada. Em termos simples, isso significa que se , então necessariamente .
Para testar isso, vamos verificar se o núcleo da transformação (o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Se sim, então é injetora.
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo de , ou seja, resolver a equação :
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da terceira equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Agora, substituindo e na segunda equação: , que é sempre verdadeira.
Isso mostra que qualquer vetor do tipo pertence ao núcleo de .
Passo 4
Como existem infinitas soluções para além do vetor zero, isso significa que o núcleo de não é apenas o vetor zero. Portanto, não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se todos os vetores do espaço de saída são atingidos por pelo menos um vetor do espaço de entrada. Ou seja, o espaço imagem de deve ser igual ao espaço de chegada .
Para verificar isso, vamos calcular o posto da matriz associada a . Se o posto for igual a 3 (dimensão do espaço de chegada), então é sobrejetora.
Passo 6
A matriz associada a é:
Vamos calcular o posto dessa matriz realizando operações de linha para trazê-la à forma escalonada.
Primeira operação: Some a primeira linha à segunda e à terceira para eliminar o primeiro elemento das linhas 2 e 3.
Segunda operação: Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o primeiro elemento da terceira linha.
Terceira operação: Subtraia a segunda linha da terceira linha para simplificar ainda mais.
Passo 7
Após as operações, vemos que a matriz escalonada tem dois pivôs (os elementos não nulos na diagonal). Isso significa que o posto da matriz é 2.
Passo 8
Como o posto de é 2, que é menor que 3 (dimensão de ), o espaço imagem de é um subespaço de dimensão 2 em . Portanto, nem todos os vetores de são atingidos por , ou seja, não é sobrejetora.
Resposta
A transformação não é injetora e não é sobrejetora.