Determine a curva cuja curvatura é dada pela função , , e a torção .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma curva cuja curvatura é dada por para , e a torção . Estamos entrando no mundo da Geometria Diferencial de Curvas, onde estudamos propriedades como curvatura e torção para entender a forma das curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de Frenet-Serret, que relacionam curvatura, torção e o comportamento da curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a torção ser zero. A torção indica que a curva não está “girando” para fora de um plano, ou seja, ela está completamente contida em um único plano. Então, nossa curva é plana. Isso simplifica bastante as coisas, porque em curvas planas a torção não entra em jogo e podemos trabalhar apenas com a posição no plano.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a curvatura está relacionada à mudança na direção da tangente da curva à medida que avançamos ao longo dela. Em termos mais técnicos, a curvatura é a derivada do ângulo que a tangente faz com um eixo fixo:
Dado que , podemos escrever:

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Podemos assumir sem perda de generalidade, pois estamos procurando uma solução geral.
Então,

Passo 5

Com o ângulo encontrado, podemos agora determinar as componentes e da curva no plano. As equações paramétricas de uma curva em termos de arc length são dadas por:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos integrar essas equações para encontrar e :
Para :
Fazendo uma substituição , então e :
Resolvendo a integral por partes:
Então,
Simplificando:
Fazendo o mesmo para :
Usando a mesma substituição:
Novamente, resolvendo por partes:
Então,
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, podemos escolher a constante como zero para simplificar, assumindo que a curva passa pela origem quando . Assim, as equações finais da curva são:

Resposta

A curva desejada é dada pelas equações paramétricas:
para .

Exercícios relacionados

Verifique que a isometria inverte orientação.
Considere uma isometria e o plano que passa por um ponto de , ortogonal ao vetor . Prove que é o plano que passa por ortogonal ao vetor .
Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de satisfazem a uma relação da forma
onde e são constantes;
Prove que toda isometria de possui inversa que também é uma isometria. Se , obtenha como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.