Determine a curva cuja curvatura é dada pela função k(s)=raiz12 s, s>0, e a torção tau(s)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma curva cuja curvatura é dada por para , e a torção . Estamos entrando no mundo da Geometria Diferencial de Curvas, onde estudamos propriedades como curvatura e torção para entender a forma das curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de Frenet-Serret, que relacionam curvatura, torção e o comportamento da curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a torção ser zero. A torção indica que a curva não está “girando” para fora de um plano, ou seja, ela está completamente contida em um único plano. Então, nossa curva é plana. Isso simplifica bastante as coisas, porque em curvas planas a torção não entra em jogo e podemos trabalhar apenas com a posição no plano.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a curvatura k(s) = dthetads está relacionada à mudança na direção da tangente da curva à medida que avançamos ao longo dela. Em termos mais técnicos, a curvatura é a derivada do ângulo dthetads = raiz12s que a tangente faz com um eixo fixo:
Dado que , podemos escrever:

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar theta(s) = integral raiz12s , ds = integral 1raiz2 s^-1/2 , ds = 1raiz2 cdot 2 s^1/2 + C = raiz2s + C . A integral de theta(s) = raiz2s em relação a é:
Onde é a constante de integração. Podemos assumir sem perda de generalidade, pois estamos procurando uma solução geral.
Então,

Passo 5

Com o ângulo dxds = cos(theta(s)) encontrado, podemos agora determinar as componentes dyds = sin(theta(s)) e dxds = cos(raiz2s) da curva no plano. As equações paramétricas de uma curva em termos de arc length dyds = sin(raiz2s) são dadas por:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos integrar essas equações para encontrar x(s) = integral cos(raiz2s) , ds e x(s) = integral cos(u) cdot uraiz2 , du = 1raiz2 integral u cos(u) , du :
Para integral u cos(u) , du = u sin(u) + cos(u) + C :
x(s) = 1raiz2 ( u sin(u) + cos(u) ) + C = 1raiz2 ( raiz2s sin(raiz2s) + cos(raiz2s) ) + C
Fazendo uma substituição x(s) = raizs sin(raiz2s) + 1raiz2 cos(raiz2s) + C , então y(s) = integral sin(raiz2s) , ds e y(s) = integral sin(u) cdot uraiz2 , du = 1raiz2 integral u sin(u) , du :
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + sin(u) + C
Resolvendo a integral por partes:
y(s) = 1raiz2 ( -u cos(u) + sin(u) ) + C = 1raiz2 ( -raiz2s cos(raiz2s) + sin(raiz2s) ) + C
Então,
y(s) = -raizs cos(raiz2s) + 1raiz2 sin(raiz2s) + C
Simplificando:
Fazendo o mesmo para :
Usando a mesma substituição:
Novamente, resolvendo por partes:
Então,
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, podemos escolher a constante x(s) = raizs sin(raiz2s) + 1raiz2 cos(raiz2s) como zero para simplificar, assumindo que a curva passa pela origem quando y(s) = -raizs cos(raiz2s) + 1raiz2 sin(raiz2s) . Assim, as equações finais da curva são:

Resposta

A curva desejada é dada pelas equações paramétricas:
x(s) = raizs cdot sin( raiz2s ) + 1raiz2 cdot cos( raiz2s )
y(s) = -raizs cdot cos( raiz2s ) + 1raiz2 cdot sin( raiz2s )
para .

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