Determine a curva cuja curvatura é dada pela função
,
, e a torção
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma curva cuja curvatura é dada por
para
, e a torção
. Estamos entrando no mundo da Geometria Diferencial de Curvas, onde estudamos propriedades como curvatura e torção para entender a forma das curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de Frenet-Serret, que relacionam curvatura, torção e o comportamento da curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a torção ser zero. A torção
indica que a curva não está “girando” para fora de um plano, ou seja, ela está completamente contida em um único plano. Então, nossa curva é plana. Isso simplifica bastante as coisas, porque em curvas planas a torção não entra em jogo e podemos trabalhar apenas com a posição no plano.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a curvatura
está relacionada à mudança na direção da tangente da curva à medida que avançamos ao longo dela. Em termos mais técnicos, a curvatura é a derivada do ângulo
que a tangente faz com um eixo fixo:
Dado que
, podemos escrever:
Passo 4
Vamos integrar essa equação para encontrar
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Podemos assumir
sem perda de generalidade, pois estamos procurando uma solução geral.
Então,
Passo 5
Com o ângulo
encontrado, podemos agora determinar as componentes
e
da curva no plano. As equações paramétricas de uma curva em termos de arc length
são dadas por:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essas equações para encontrar
e
:
Para
:
Fazendo uma substituição
, então
e
:
Resolvendo a integral por partes:
Então,
Simplificando:
Fazendo o mesmo para
:
Usando a mesma substituição:
Novamente, resolvendo por partes:
Então,
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, podemos escolher a constante
como zero para simplificar, assumindo que a curva passa pela origem quando
. Assim, as equações finais da curva são:
Resposta
A curva desejada é dada pelas equações paramétricas:
para
.
Exercícios relacionados
Verifique que a isometria
inverte orientação.
Considere uma isometria
e
o plano que passa por um ponto
de
, ortogonal ao vetor
. Prove que
é o plano que passa por
ortogonal ao vetor
.
Seja
uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva
tal que
e
são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de
satisfazem a uma relação da forma
onde
e
são constantes;
Prove que toda isometria
de
possui inversa
que também é uma isometria. Se
, obtenha
como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.