Se Ta indica translação por a e C uma transformação ortogonal, verifique que C circ Ta=TC(a) circ C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos Ta, que representa uma translação pelo vetor a, e C, que é uma transformação ortogonal. A tarefa é mostrar que a composição dessas transformações, ou seja, C circ Ta, é igual a TC(a) circ C. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são translações e transformações ortogonais, além de entender como elas se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma translação. A translação Ta desloca qualquer vetor no espaço adicionando o vetor a a ele. Matemáticamente, isso é representado por:
Ta(x) = x + a
onde x é um vetor qualquer no espaço.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma transformação ortogonal. Uma transformação ortogonal C é uma função linear que preserva comprimentos e ângulos entre vetores. Isso significa que a matriz que representa C satisfaz a condição:
C^T C = I
onde C^T é a transposta de C e I é a matriz identidade. Em outras palavras, C não distorce o espaço, apenas rotaciona ou reflete os vetores.

Passo 4

Queremos provar que:
C circ Ta = TC(a) circ C
Para isso, vamos aplicar ambas as composições a um vetor genérico x e verificar se os resultados são iguais.

Passo 5

Primeiro, calculemos C circ Ta(x):
C(Ta(x)) = C(x + a)
Como C é uma transformação linear, podemos distribuir C sobre a soma dos vetores:
C(x + a) = C(x) + C(a)

Passo 6

Agora, vamos calcular TC(a) circ C(x):
TC(a)(C(x)) = C(x) + C(a)
Aqui, aplicamos a translação TC(a) ao vetor C(x), ou seja, adicionamos C(a) a C(x).

Passo 7

Comparando os dois resultados:
C(x) + C(a) = C(x) + C(a)
Vemos que ambos os lados são iguais para qualquer vetor x. Portanto, concluímos que:
C circ Ta = TC(a) circ C

Resposta

Assim, verificamos que C circ Ta = TC(a) circ C.

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