Se
indica translação por
e
uma transformação ortogonal, verifique que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos
, que representa uma translação pelo vetor
, e
, que é uma transformação ortogonal. A tarefa é mostrar que a composição dessas transformações, ou seja,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são translações e transformações ortogonais, além de entender como elas se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma translação. A translação
desloca qualquer vetor no espaço adicionando o vetor
a ele. Matemáticamente, isso é representado por:
onde
é um vetor qualquer no espaço.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma transformação ortogonal. Uma transformação ortogonal
é uma função linear que preserva comprimentos e ângulos entre vetores. Isso significa que a matriz que representa
satisfaz a condição:
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Em outras palavras,
não distorce o espaço, apenas rotaciona ou reflete os vetores.
Passo 4
Queremos provar que:
Para isso, vamos aplicar ambas as composições a um vetor genérico
e verificar se os resultados são iguais.
Passo 5
Primeiro, calculemos
:
Como
é uma transformação linear, podemos distribuir
sobre a soma dos vetores:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Aqui, aplicamos a translação
ao vetor
, ou seja, adicionamos
a
.
Passo 7
Comparando os dois resultados:
Vemos que ambos os lados são iguais para qualquer vetor
. Portanto, concluímos que:
Resposta
Assim, verificamos que
.
Exercícios relacionados
Seja
definida por
(b) T é injetora? T é sobrejetora? (justifique!)
Encontre uma transformação linear
tal que:
(a)
(a)
Considere uma isometria
e
o plano que passa por um ponto
de
, ortogonal ao vetor
. Prove que
é o plano que passa por
ortogonal ao vetor
.
Verifique que a isometria
inverte orientação.