Se indica translação por e uma transformação ortogonal, verifique que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos , que representa uma translação pelo vetor , e , que é uma transformação ortogonal. A tarefa é mostrar que a composição dessas transformações, ou seja, , é igual a . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são translações e transformações ortogonais, além de entender como elas se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma translação. A translação desloca qualquer vetor no espaço adicionando o vetor a ele. Matemáticamente, isso é representado por:
onde é um vetor qualquer no espaço.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma transformação ortogonal. Uma transformação ortogonal é uma função linear que preserva comprimentos e ângulos entre vetores. Isso significa que a matriz que representa satisfaz a condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade. Em outras palavras, não distorce o espaço, apenas rotaciona ou reflete os vetores.

Passo 4

Queremos provar que:
Para isso, vamos aplicar ambas as composições a um vetor genérico e verificar se os resultados são iguais.

Passo 5

Primeiro, calculemos :
Como é uma transformação linear, podemos distribuir sobre a soma dos vetores:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Aqui, aplicamos a translação ao vetor , ou seja, adicionamos a .

Passo 7

Comparando os dois resultados:
Vemos que ambos os lados são iguais para qualquer vetor . Portanto, concluímos que:

Resposta

Assim, verificamos que .

Exercícios relacionados

Seja definida por
(b) T é injetora? T é sobrejetora? (justifique!)
Encontre uma transformação linear tal que:
(a)
Considere uma isometria e o plano que passa por um ponto de , ortogonal ao vetor . Prove que é o plano que passa por ortogonal ao vetor .
Verifique que a isometria inverte orientação.