Verifique que a isometria inverte orientação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a isometria inverte a orientação. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica e Transformações Lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma isometria, o que significa inverter orientação e como isso está relacionado ao determinante da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma isometria. Isometria é uma transformação que preserva distâncias entre os pontos. No nosso caso, simplesmente reflete cada coordenada, mas mantém as distâncias inalteradas.

Passo 3

Agora, para verificar se essa isometria inverte a orientação, precisamos olhar para a matriz que representa essa transformação. A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 4

A orientação é invertida se o determinante da matriz for negativo. Vamos calcular o determinante de :

Passo 5

Como o determinante é , que é negativo, isso significa que a transformação inverte a orientação.

Resposta

A isometria inverte a orientação.

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Considere uma isometria e o plano que passa por um ponto de , ortogonal ao vetor . Prove que é o plano que passa por ortogonal ao vetor .
Se indica translação por e uma transformação ortogonal, verifique que .
Determine a curva cuja curvatura é dada pela função , , e a torção .
Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de satisfazem a uma relação da forma
onde e são constantes;