Determine as raízes da equação e^z + 6 e^(-z) = 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Isso envolve conceitos de exponenciais e equações algébricas. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação e depois resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar essa equação fazendo uma substituição. Vamos chamar . Assim, se torna , já que . Substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, para eliminar o denominador, multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato de uma equação quadrática padrão :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar:
Portanto, as soluções para são:

Passo 6

Lembremos que . Então, temos duas equações para resolver:
Para resolver para , usamos o logaritmo natural :
Para :
Para :

Resposta

As raízes da equação são e .

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