Considere
[l X0 X1 X2 ] sim N3(O, Sigma) , onde Sigma=[lll 4 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 ]
(a) Determine a distribuição marginal de X1.
(b) Determine a distribuição conjunta de X1 e X2.
© Determine a distribuição condicional de X0 dado X1=x1 e X2=x2.
(d) Calcule rho12, rho01, rho02.
(e) Determine a distribuição de Z=4 X0-6 X1+X2
(f) Determine a covariância entre Z1 e Z2 onde Z1=X0-X1+2 X2 e Z2=2 X1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um vetor aleatório X0 X1 X2 que segue uma distribuição normal multivariada com média zero e uma matriz de covariância dada. A matéria aqui é sobre distribuições normais multivariadas, e pra resolver os itens, a gente vai precisar entender como obter distribuições marginais, conjuntas e condicionais, além de calcular correlações e combinar variáveis aleatórias. Vamos passo a passo!

Passo 2

(a) Determinar a distribuição marginal de Sigma = 4 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3

Primeiro, a distribuição marginal de uma das variáveis em uma distribuição normal multivariada é simplesmente uma distribuição normal com média igual à média da variável e variância igual à diagonal correspondente da matriz .
Aqui, sabemos que é:
Para , a média é 0 (já que a média do vetor é zero) e a variância é 2 (a segunda entrada na diagonal de ).

Passo 3

(b) Determinar a distribuição conjunta de 0 0 e Sigma1,2 = 2 & 1 1 & 3

A distribuição conjunta de duas variáveis em uma distribuição normal multivariada também é normal, com média e matriz de covariância extraídas da matriz X1 X2 sim N2( 0 0 , 2 & 1 1 & 3 ) .
Para e , a média é o vetor e a matriz de covariância é:
Então, a distribuição conjunta é:

Passo 4

© Determinar a distribuição condicional de mu0|1,2 = Sigma0,1,2 Sigma1,2^-1 x1 x2 dado Sigma0|1,2 = Sigma00 - Sigma0,1,2 Sigma1,2^-1 Sigma1,2,0 e mu0|1,2 = [1, 0] 2 & 1 1 & 3 ^-1 x1 x2

Para encontrar a distribuição condicional de Sigma0|1,2 = 4 - [1, 0] 2 & 1 1 & 3 ^-1 1 0 dado e , usamos a propriedade das distribuições normais condicionais. A distribuição condicional também será normal, com média e variância que podem ser calculadas a partir da matriz de covariância.
A fórmula para a média condicional é:
E a variância condicional é:
Aqui, são as covariâncias de com e , que são , e já calculamos anteriormente.
Calculando:
E
Após calcular, obteremos a distribuição condicional de .

Passo 5

(d) Calcular rhoij = Cov(Xi, Xj)raizVar(Xi) Var(Xj)

As correlações rho01 = 1raiz4 times 2 = 12raiz2 approx 0.3535 são dadas por:
rho12 = 1raiz2 times 3 = 1raiz6 approx 0.4082
Usando a matriz rho02 = 0raiz4 times 3 = 0 , temos:
E as variâncias são 4, 2 e 3 para respectivamente.
Então:

Passo 6

(e) Determinar a distribuição de muZ = 4 muX0 - 6 muX1 + muX2 = 0

Como Var(Z) = 4^2 Var(X0) + (-6)^2 Var(X1) + 1^2 Var(X2) + 2 times 4 times (-6) Cov(X0,X1) + 2 times 4 times 1 Cov(X0,X2) + 2 times (-6) times 1 Cov(X1,X2) é uma combinação linear de variáveis normais, Var(Z) = 16 times 4 + 36 times 2 + 1 times 3 + 2 times 4 times (-6) times 1 + 2 times 4 times 1 times 0 + 2 times (-6) times 1 times 1 também segue uma distribuição normal. Para encontrar sua média e variância:
  • A média de Var(Z) = 64 + 72 + 3 - 48 + 0 -12 = 79 é:
Z sim N(0, 79)
  • A variância de é:
Substituindo os valores:
Calculando:
Então:

Passo 7

(f) Determinar a covariância entre Cov(Z1, Z2) = Cov(X0 - X1 + 2 X2, 2 X1) = 2 Cov(X0, X1) - 2 Cov(X1, X1) + 4 Cov(X2, X1) e Cov(Z1, Z2) = 2 times 1 - 2 times 2 + 4 times 1 = 2 - 4 + 4 = 2 , onde e

A covariância entre e é dada por:
Substituindo os valores da matriz :

Resposta

(a) X1 X2
(b) 0 0
© 2 & 1 1 & 3 , onde e foram calculados no passo 4.
(d) , ,
(e)
(f)

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Considere o modelo de medidas repetidas
l Xi 1=mu+epsiloni 1 Xi 2=mu+de
onde Xi 1 e Xi 2 são medidas do i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo undersetsimiepsilon=(epsiloni 1, epsiloni 2)^prime, i=1, ldots, n são vetores aleatórios independentes, Var(epsiloni 1)=sigma1^2, Var(epsiloni 2)=sigma2^2 e Cov(epsiloni 1, epsiloni 2)=rho sigma1 sigma2
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
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