Considere o modelo de medidas repetidas
l Xi 1=mu+epsiloni 1 Xi 2=mu+de
onde Xi 1 e Xi 2 são medidas do i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo undersetsimiepsilon=(epsiloni 1, epsiloni 2)^prime, i=1, ldots, n são vetores aleatórios independentes, Var(epsiloni 1)=sigma1^2, Var(epsiloni 2)=sigma2^2 e Cov(epsiloni 1, epsiloni 2)=rho sigma1 sigma2
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de undersetsimepsilon e escreva em notação de produto de Kronecker.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um modelo de medidas repetidas onde medimos uma característica antes e depois de um tratamento para cada indivíduo. O conteúdo aqui envolve modelos lineares e matrizes de variância-covariância. Para resolver, vamos precisar entender como escrever o modelo em forma matricial e como construir a matriz de variância-covariância usando o produto de Kronecker.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o modelo na forma matricial. Temos duas equações:
l Xi1 = mu + epsiloni1 Xi2 = mu + de
Podemos organizar isso em uma única equação vetorial. Para cada indivíduo Xi1 Xi2 = mu mu + de, podemos escrever:

$$
Xi = beta + epsiloni

Xi1 Xi2
+
mu mu + de
$$
Assim, o modelo matricial fica:
epsiloni1 epsiloni2
Onde:
  • é o vetor de medidas.
  • é o vetor de parâmetros fixos.
  • é o vetor de erros aleatórios.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos tipos de testes de hipóteses que poderíamos realizar nesse modelo. Em geral, estamos interessados em testar se o tratamento teve efeito. Isso se traduz em testar se é diferente de zero. Especificamente, podemos fazer:
  • Teste de Hipótese sobre :
    • Hipótese Nula ( ): (o tratamento não teve efeito).
    • Hipótese Alternativa ( ): (o tratamento teve efeito).
Além disso, podemos testar hipóteses conjuntos envolvendo e , por exemplo, testar se ambos são iguais a certos valores.

Passo 4

Vamos agora construir a matriz de variância-covariância dos erros Var(epsiloni) = sigma1^2 & rho sigma1 sigma2 rho sigma1 sigma2 & sigma2^2 . Sabemos que para cada :
Assim, a matriz de variância-covariância para é:

Passo 5

Por fim, vamos escrever essa matriz usando a notação de produto de Kronecker. O produto de Kronecker é uma forma de construir matrizes maiores a partir de duas matrizes menores. Considerando que temos Var(epsilon) = In otimes sigma1^2 & rho sigma1 sigma2 rho sigma1 sigma2 & sigma2^2 indivíduos e que os erros são independentes entre si, a matriz de variância-covariância total para todos os indivíduos será:
Onde é a matriz identidade de ordem e representa o produto de Kronecker.

Resposta

Prontinho! Conseguimos escrever o modelo em forma matricial e identificar os testes de hipóteses relevantes. Além disso, construímos a matriz de variância-covariância dos erros utilizando a notação de produto de Kronecker:
Var(epsilon) = In otimes sigma1^2 & rho sigma1 sigma2 rho sigma1 sigma2 & sigma2^2

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