onde e são medidas do -ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo são vetores aleatórios independentes, , e
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de e escreva em notação de produto de Kronecker.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um modelo de medidas repetidas onde medimos uma característica antes e depois de um tratamento para cada indivíduo. O conteúdo aqui envolve modelos lineares e matrizes de variância-covariância. Para resolver, vamos precisar entender como escrever o modelo em forma matricial e como construir a matriz de variância-covariância usando o produto de Kronecker.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o modelo na forma matricial. Temos duas equações:
Podemos organizar isso em uma única equação vetorial. Para cada indivíduo , podemos escrever:
$$
+
$$
Assim, o modelo matricial fica:
Onde:
é o vetor de medidas.
é o vetor de parâmetros fixos.
é o vetor de erros aleatórios.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos tipos de testes de hipóteses que poderíamos realizar nesse modelo. Em geral, estamos interessados em testar se o tratamento teve efeito. Isso se traduz em testar se é diferente de zero. Especificamente, podemos fazer:
Teste de Hipótese sobre :
Hipótese Nula (): (o tratamento não teve efeito).
Hipótese Alternativa (): (o tratamento teve efeito).
Além disso, podemos testar hipóteses conjuntos envolvendo e , por exemplo, testar se ambos são iguais a certos valores.
Passo 4
Vamos agora construir a matriz de variância-covariância dos erros . Sabemos que para cada :
Assim, a matriz de variância-covariância para é:
Passo 5
Por fim, vamos escrever essa matriz usando a notação de produto de Kronecker. O produto de Kronecker é uma forma de construir matrizes maiores a partir de duas matrizes menores. Considerando que temos indivíduos e que os erros são independentes entre si, a matriz de variância-covariância total para todos os indivíduos será:
Onde é a matriz identidade de ordem e representa o produto de Kronecker.
Resposta
Prontinho! Conseguimos escrever o modelo em forma matricial e identificar os testes de hipóteses relevantes. Além disso, construímos a matriz de variância-covariância dos erros utilizando a notação de produto de Kronecker: