Determine, usando a definição, uma inversa generalizada de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e queremos encontrar uma inversa generalizada para ela. Isso significa que a matriz não é quadrada, então não dá para fazer a inversa normal. A gente vai precisar usar a definição de inversa generalizada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma inversa generalizada. Diferente da inversa comum, que só existe para matrizes quadradas e invertíveis, a inversa generalizada (também conhecida como inversa de Moore-Penrose) pode ser aplicada a matrizes retangulares. Ela não é única, mas serve para resolver sistemas que não têm solução única.
Passo 3
A matriz dada é uma matriz , ou seja, tem 1 linha e 2 colunas:
Queremos encontrar uma matriz que seja a inversa generalizada de . Como é , precisará ser .
Passo 4
A definição de inversa generalizada nos diz que deve satisfazer:
Vamos supor que . Então, multiplicando:
Agora, multiplicando de novo por :
Para que isso seja igual a , temos:
Isso nos dá a equação , ou seja, . O valor de pode ser qualquer número, já que ele não afeta o resultado.