Determine, usando a definição, uma inversa generalizada de A^-=[ll3 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 3 & 0 e queremos encontrar uma inversa generalizada para ela. Isso significa que a matriz não é quadrada, então não dá para fazer a inversa normal. A gente vai precisar usar a definição de inversa generalizada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma inversa generalizada. Diferente da inversa comum, que só existe para matrizes quadradas e invertíveis, a inversa generalizada (também conhecida como inversa de Moore-Penrose) pode ser aplicada a matrizes retangulares. Ela não é única, mas serve para resolver sistemas que não têm solução única.

Passo 3

A matriz dada A^- = 3 & 0 é uma matriz , ou seja, tem 1 linha e 2 colunas:
Queremos encontrar uma matriz que seja a inversa generalizada de . Como é , precisará ser .

Passo 4

A definição de inversa generalizada nos diz que A^- X A^- = A^- deve satisfazer:
x y
Vamos supor que A^- X = 3 & 0 x y = 3x + 0y = 3x . Então, multiplicando:
3x cdot 3 & 0 = 9x & 0
Agora, multiplicando de novo por 9x & 0 = 3 & 0 :
Para que isso seja igual a , temos:
Isso nos dá a equação , ou seja, . O valor de pode ser qualquer número, já que ele não afeta o resultado.

Resposta

Uma inversa generalizada de 3 & 0 é:
X = dfrac13 y
onde pode ser qualquer número real.

Exercícios relacionados

Se A é definida como
A=[ll B & O O & C ]
Prove que
A^-=[cc B^- & O O & C^- ]
onde A^-, B^-, C^-são inversas generalizadas de A, B, C, respectivamente.
Mostre que se B é uma inversa generalizada de A, então B^prime é uma inversa generalizada de A^prime.
Considere o modelo de medidas repetidas
l Xi 1=mu+epsiloni 1 Xi 2=mu+de
onde Xi 1 e Xi 2 são medidas do i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo undersetsimiepsilon=(epsiloni 1, epsiloni 2)^prime, i=1, ldots, n são vetores aleatórios independentes, Var(epsiloni 1)=sigma1^2, Var(epsiloni 2)=sigma2^2 e Cov(epsiloni 1, epsiloni 2)=rho sigma1 sigma2
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de undersetsimepsilon e escreva em notação de produto de Kronecker.
Considere
[l X0 X1 X2 ] sim N3(O, Sigma) , onde Sigma=[lll 4 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 ]
(a) Determine a distribuição marginal de X1.
(b) Determine a distribuição conjunta de X1 e X2.
© Determine a distribuição condicional de X0 dado X1=x1 e X2=x2.
(d) Calcule rho12, rho01, rho02.
(e) Determine a distribuição de Z=4 X0-6 X1+X2
(f) Determine a covariância entre Z1 e Z2 onde Z1=X0-X1+2 X2 e Z2=2 X1.