Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lagoa com 8 milhões de galões de água no começo. Água com um produto químico indesejado está entrando na lagoa a uma taxa de 3 milhões de galões por ano, e a mesma quantidade de água está saindo. A concentração desse produto químico na água que entra muda com o tempo e é dada por gramas por galão. Nosso objetivo é criar um modelo matemático que descreva esse processo e descobrir quanta quantidade desse produto químico está na lagoa em qualquer instante.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de produto químico na lagoa no tempo . Precisamos encontrar uma equação que descreva como muda ao longo do tempo. Para isso, vamos considerar as entradas e saídas do produto químico.

Passo 3

A água entra na lagoa com uma concentração de gramas por galão, e a taxa de entrada é de 3 milhões de galões por ano. Então, a taxa de entrada do produto químico é:

Passo 4

A água também está saindo da lagoa a 3 milhões de galões por ano. A concentração de produto químico na água que sai é a mesma da lagoa, ou seja, gramas por galão (já que o volume da lagoa é constante em 8 milhões de galões). Portanto, a taxa de saída do produto químico é:
í

Passo 5

Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a taxa de variação de :
í
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea que podemos resolver usando um fator integrante. A equação tem a forma:
O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo a integral:
E:
Simplificando os coeficientes, temos a solução geral de .

Resposta

Após resolver a equação diferencial, a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante é dada por:
Essa expressão descreve como a quantidade de produto químico varia ao longo do tempo na lagoa.

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Encontre a solução geral de cada uma das EDO