Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração
do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo
de acordo com a expressão
gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lagoa com 8 milhões de galões de água no começo. Água com um produto químico indesejado está entrando na lagoa a uma taxa de 3 milhões de galões por ano, e a mesma quantidade de água está saindo. A concentração desse produto químico na água que entra muda com o tempo e é dada por
gramas por galão. Nosso objetivo é criar um modelo matemático que descreva esse processo e descobrir quanta quantidade desse produto químico está na lagoa em qualquer instante.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
como a quantidade de produto químico na lagoa no tempo
. Precisamos encontrar uma equação que descreva como
muda ao longo do tempo. Para isso, vamos considerar as entradas e saídas do produto químico.
Passo 3
A água entra na lagoa com uma concentração de
gramas por galão, e a taxa de entrada é de 3 milhões de galões por ano. Então, a taxa de entrada do produto químico é:
Passo 4
A água também está saindo da lagoa a 3 milhões de galões por ano. A concentração de produto químico na água que sai é a mesma da lagoa, ou seja,
gramas por galão (já que o volume da lagoa é constante em 8 milhões de galões). Portanto, a taxa de saída do produto químico é:
Passo 5
Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a taxa de variação de
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea que podemos resolver usando um fator integrante. A equação tem a forma:
O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo a integral:
E:
Simplificando os coeficientes, temos a solução geral de
.
Resposta
Após resolver a equação diferencial, a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante
é dada por:
Essa expressão descreve como a quantidade de produto químico varia ao longo do tempo na lagoa.
Exercícios relacionados
Seja
uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine
e
.
Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule
, onde
e
.
Encontre a solução geral de cada uma das EDO