Encontre a solução geral de cada uma das EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações características e identificar as raízes que vão nos levar à solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo em um lado e facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por 4, temos:
Agora a equação está na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Em seguida, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da EDO. Para nossa equação, a característica fica:
Aqui, representa as raízes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :
As raízes são complexas conjugadas, ou seja, da forma , onde e .

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de e :
Simplificando :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule , onde e .
Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de para o qual a solução se aproxima muito do eixo mas não o atravessa.
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