Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações características e identificar as raízes que vão nos levar à solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo em um lado e facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por 4, temos:
Agora a equação está na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Em seguida, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da EDO. Para nossa equação, a característica fica:
Aqui,
representa as raízes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
As raízes são complexas conjugadas, ou seja, da forma
, onde
e
.
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule
, onde
e
.
Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração
do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo
de acordo com a expressão
gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.
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