Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule d z / d t, onde z = sen(2 x^2 y), x = 2 t^3 + t^2 e y = t^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a , onde , e . Vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Aqui, é uma função de e , e tanto quanto são funções de . Então, para encontrar , precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular . Temos:
Aplicando a derivada em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos :

Passo 6

Vamos encontrar e . Dadas as funções:

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 8

Podemos simplificar um pouco:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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