Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a , onde , e . Vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Aqui, é uma função de e , e tanto quanto são funções de . Então, para encontrar , precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular . Temos:
Aplicando a derivada em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos :

Passo 6

Vamos encontrar e . Dadas as funções:

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 8

Podemos simplificar um pouco:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
Seja uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação . Determine e .
Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de para o qual a solução se aproxima muito do eixo mas não o atravessa.