Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, onde
,
e
. Vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Aqui,
é uma função de
e
, e tanto
quanto
são funções de
. Então, para encontrar
, precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular
. Temos:
Aplicando a derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
Vamos encontrar
e
. Dadas as funções:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 8
Podemos simplificar um pouco:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração
do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo
de acordo com a expressão
gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
Seja
uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine
e
.
Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.