Sejam y = y(x) e x > 0. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
d y/d x - 1/x y = 2/x^2 y^4
e pela condição inicial y(1) = 1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona com e uma condição inicial . O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que ajuda a lidar com equações que têm termos como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da nossa equação diferencial. Ela está escrita assim:
Isso se encaixa na forma geral da equação de Bernoulli:
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Definimos . Nesse caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos permite reescrever a equação original em termos de .

Passo 5

Substituindo na equação original usando a expressão de :
Substituindo isso na equação original:

Passo 6

Agora, dividindo tudo por para simplificar:
Lembrando que , temos:
Multiplicando tudo por -3 para facilitar:

Passo 7

Agora, essa é uma equação diferencial linear em . Para resolver, encontramos o fator integrante :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
Então,

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para encontrar :

Passo 11

Agora, aplicamos a condição inicial :
Como , temos:
Elevando ambos os lados à potência 3:
Então, .

Passo 12

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A solução da PVI é

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