Sejam
e
. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
e pela condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona
com
e uma condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que ajuda a lidar com equações que têm termos como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da nossa equação diferencial. Ela está escrita assim:
Isso se encaixa na forma geral da equação de Bernoulli:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Definimos
. Nesse caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite reescrever a equação original em termos de
.
Passo 5
Substituindo
na equação original usando a expressão de
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 6
Agora, dividindo tudo por
para simplificar:
Lembrando que
, temos:
Multiplicando tudo por -3 para facilitar:
Passo 7
Agora, essa é uma equação diferencial linear em
. Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Então,
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para encontrar
:
Passo 11
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Como
, temos:
Elevando ambos os lados à potência 3:
Então,
.
Passo 12
Substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução da PVI é