Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (-2, 1, -3) ao elipsoide
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsoide definido pela equação e precisamos encontrar duas coisas:
A equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto .
A equação da reta normal a esse elipsoide nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria multivariada, especificamente sobre como encontrar planos tangentes e retas normais a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do elipsoide de forma mais simples:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a superfície com a qual estamos trabalhando.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por em um ponto , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente. Essas derivadas nos dão o vetor normal à superfície no ponto dado.
Passo 4
Vamos identificar para o nosso elipsoide:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Esses valores nos dão o vetor normal à superfície no ponto : .
Passo 6
Agora, usando a fórmula do plano tangente que mencionamos no Passo 3, substituímos os valores:
Simplificando:
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Agora, somando os termos constantes:
Podemos multiplicar toda a equação por 3 para eliminar as frações:
E rearranjando:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor normal .
A forma paramétrica da reta é dada por:
Onde é o ponto dado e (a, b, c) são as componentes do vetor direção.