Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (-2, 1, -3) ao elipsoide x^2/4 + y^2 + z^2/9 - 3 = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsoide definido pela equação e precisamos encontrar duas coisas:
  1. A equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto .
  2. A equação da reta normal a esse elipsoide nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria multivariada, especificamente sobre como encontrar planos tangentes e retas normais a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do elipsoide de forma mais simples:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a superfície com a qual estamos trabalhando.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por em um ponto , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, , e são as derivadas parciais de F em relação a x, y e z, respectivamente. Essas derivadas nos dão o vetor normal à superfície no ponto dado.

Passo 4

Vamos identificar para o nosso elipsoide:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada em relação a x:
  • Derivada em relação a y:
  • Derivada em relação a z:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Esses valores nos dão o vetor normal à superfície no ponto : .

Passo 6

Agora, usando a fórmula do plano tangente que mencionamos no Passo 3, substituímos os valores:
Simplificando:

Passo 7

Vamos distribuir os termos:
Agora, somando os termos constantes:
Podemos multiplicar toda a equação por 3 para eliminar as frações:
E rearranjando:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor normal .
A forma paramétrica da reta é dada por:
Onde é o ponto dado e (a, b, c) são as componentes do vetor direção.

Passo 9

Substituindo os valores:

Passo 10

Então, reunindo tudo:

Resposta

Equação do plano tangente:
Equação paramétrica da reta normal:

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