Considere uma lâmina triangular definida entre as retas
, e a função densidade
. Determine a Massa da Lâmina.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a massa de uma lâmina triangular. Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente integração dupla, que é usada para calcular massas de regiões bidimensionais quando conhecemos a distribuição de densidade. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a área triangular e aplicar a função densidade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região onde a lâmina está localizada. A lâmina está delimitada pelas retas
,
e
. Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor.
- A reta
é o eixo y. - A reta
é o eixo x. - A reta
intercepta o eixo y quando (ponto (0,2)) e o eixo x quando (resolvendo dá , ponto (1,0)).
Então, nosso triângulo tem vértices em (0,0), (0,2) e (1,0).
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a massa. A massa
é dada por:
onde
é a região triangular e
é a função densidade.
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
fixo, varia de 0 até .
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Integrando termo a termo:
Então, substituindo os limites:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, calcule cada termo:
Agora, some tudo:
Passo 7
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo os limites:
Passo 8
Agora, calculemos para
e
:
Para
:
Para
:
Então,
Resposta
A massa da lâmina é
unidades de massa.