Considere uma lâmina triangular definida entre as retas x=0, y=0, y=2-2*x, e a função densidade rho(x, y) = 1 + 2*x + y. Determine a Massa da Lâmina.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a massa de uma lâmina triangular. Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente integração dupla, que é usada para calcular massas de regiões bidimensionais quando conhecemos a distribuição de densidade. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a área triangular e aplicar a função densidade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região onde a lâmina está localizada. A lâmina está delimitada pelas retas , e . Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor.
  • A reta é o eixo y.
  • A reta é o eixo x.
  • A reta intercepta o eixo y quando (ponto (0,2)) e o eixo x quando (resolvendo , ponto (1,0)).
Então, nosso triângulo tem vértices em (0,0), (0,2) e (1,0).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a massa. A massa é dada por:
onde é a região triangular e é a função densidade.

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada fixo, varia de 0 até .
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, substituindo os limites:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, calcule cada termo:
Agora, some tudo:

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo os limites:

Passo 8

Agora, calculemos para e :
Para :
Para :
Então,

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa.

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