Resolva a equação diferencial ordinária pelo Método dos Coeficientes a Determinar e pelo Método da Variação dos Parâmetros.
y'' - 4y = e^x cos(x)

Passo 1

Opa! Vamos resolver a equação diferencial usando dois métodos: o Método dos Coeficientes a Determinar e o Método da Variação dos Parâmetros. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como encontrar soluções particulares para o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, substituímos por e obtemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
onde e são constantes.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar uma solução particular da equação completa . Observamos que o termo não homogêneo é , que sugere que nossa solução particular terá a forma:
onde e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Isso deve ser igual a . Portanto, igualamos os coeficientes:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,

Passo 8

Assim, a solução particular pelo Método dos Coeficientes a Determinar é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 10

Agora, vamos resolver a mesma equação usando o Método da Variação dos Parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é . Para variação dos parâmetros, assumimos que e não são constantes, mas funções de , ou seja, e .

Passo 11

Aplicamos as condições:

Passo 12

Resolvemos o sistema para e :
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:

Passo 13

Integrando :
Usando integração por partes ou tabelas de integrais, encontramos:
Podemos ignorar a constante de integração pois será absorvida na solução homogênea.

Passo 14

Da primeira condição , temos:
Substituindo :
Integrando:

Passo 15

Assim, a solução particular pelo Método da Variação dos Parâmetros é:

Passo 16

A solução geral da equação diferencial, combinando a homogênea e a particular pelo Método da Variação dos Parâmetros, é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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