Resolva a equação diferencial ordinária pelo Método dos Coeficientes a Determinar e pelo Método da Variação dos Parâmetros.
Passo 1
Opa! Vamos resolver a equação diferencial
usando dois métodos: o Método dos Coeficientes a Determinar e o Método da Variação dos Parâmetros. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como encontrar soluções particulares para o termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, substituímos
por
e obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
onde
e
são constantes.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar uma solução particular
da equação completa
. Observamos que o termo não homogêneo é
, que sugere que nossa solução particular terá a forma:
onde
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Isso deve ser igual a
. Portanto, igualamos os coeficientes:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
Passo 8
Assim, a solução particular pelo Método dos Coeficientes a Determinar é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 10
Agora, vamos resolver a mesma equação usando o Método da Variação dos Parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é
. Para variação dos parâmetros, assumimos que
e
não são constantes, mas funções de
, ou seja,
e
.
Passo 11
Aplicamos as condições:
Passo 12
Resolvemos o sistema para
e
:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:
Passo 13
Integrando
:
Usando integração por partes ou tabelas de integrais, encontramos:
Podemos ignorar a constante de integração
pois será absorvida na solução homogênea.
Passo 14
Da primeira condição
, temos:
Substituindo
:
Integrando:
Passo 15
Assim, a solução particular pelo Método da Variação dos Parâmetros é:
Passo 16
A solução geral da equação diferencial, combinando a homogênea e a particular pelo Método da Variação dos Parâmetros, é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.