Determine a Area das seguintes regiões: Limitada pelas parábolas y = (x - 3)² + 1 e y = -(x - 3)^{2} + 3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para determinar a área das regiões que são limitadas pelas parábolas e . Portanto, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente para encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se encontram, ou seja, onde seus valores de são iguais. Vamos igualar as duas equações:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as parábolas se interceptam:
Primeiro, somamos em ambos os lados para eliminar o termo negativo:
Simplificando:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Dividimos por 2:

Passo 4

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
Isso nos dá duas soluções:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos e .

Passo 5

Sabendo onde as parábolas se encontram, podemos agora determinar qual das duas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre 2 e 4, por exemplo, :
Para quando :
Para quando :
Então, entre e , a parábola está acima de .

Passo 6

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Áçãçã
Aqui, , , a função de cima é e a função de baixo é .

Passo 7

Vamos substituir na fórmula:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral separadamente:
Então:

Passo 9

Agora, avaliamos a antiderivada de e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, subtraímos o valor em do valor em para encontrar a área:
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas parábolas e é unidades quadradas.

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