Determine a Area das seguintes regiões: Limitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para determinar a área das regiões que são limitadas pelas parábolas
e
. Portanto, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente para encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se encontram, ou seja, onde seus valores de
são iguais. Vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as parábolas se interceptam:
Primeiro, somamos
em ambos os lados para eliminar o termo negativo:
Simplificando:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Dividimos por 2:
Passo 4
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 5
Sabendo onde as parábolas se encontram, podemos agora determinar qual das duas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre 2 e 4, por exemplo,
:
Para
quando
:
Para
quando
:
Então, entre
e
, a parábola
está acima de
.
Passo 6
Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui,
,
, a função de cima é
e a função de baixo é
.
Passo 7
Vamos substituir na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral separadamente:
Então:
Passo 9
Agora, avaliamos a antiderivada de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
para encontrar a área:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas parábolas
e
é
unidades quadradas.