Considere uma liga de aço com 0,10 % p de Carbono, sujeita a tratamento a 727 oC em uma atmosfera com 1,2%p de carbono. Considere que o ferro tem estrutura cúbica de face centrada (FCC) nesta temperatura.
Qual a concentração de Carbono a uma profundidade de 0,3 mm após 1 hora de carbonetação?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma liga de aço com 0,10 % de Carbono que está sendo submetida a um tratamento térmico a 727 °C em uma atmosfera que contém 1,2 % de Carbono. Sabemos que nessa temperatura o ferro possui uma estrutura Cúbica de Face Centrada (FCC). Precisamos descobrir qual será a concentração de Carbono a uma profundidade de 0,3 mm após 1 hora de carbonetação.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de difusão de átomos em materiais sólidos, especificamente a Lei de Fick para descrever como o Carbono se difunde na liga de aço durante o tratamento térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as concentrações envolvidas:
  • C₀: Concentração inicial de Carbono na liga de aço, que é 0,10 %.
  • Cₛ: Concentração de Carbono na atmosfera, que é 1,2 %.
O processo de carbonetação envolve a difusão do Carbono da atmosfera para o interior da liga de aço. Como a estrutura do ferro é FCC a 727 °C, podemos considerar que a difusão ocorre de forma homogênea.

Passo 3

Vamos utilizar a Lei de Fick de Segunda Lei, que descreve a difusão em materiais sólidos. Para o caso de uma superfície com concentração constante e uma profundidade infinita, a solução é dada pela função erro (erf), que nos permite calcular a concentração em uma profundidade específica após um determinado tempo.
A fórmula para a concentração de Carbono a uma profundidade $ x $ e no tempo $ t $ é:
x
Onde:
  • $ C(x,t) $ é a concentração de Carbono na profundidade $ x $ após o tempo $ t $.
  • $ D $ é o coeficiente de difusão do Carbono na liga de aço a 727 °C.
  • $ erf $ é a função erro.

Passo 4

Para aplicar a fórmula, precisamos determinar o coeficiente de difusão $ D $ do Carbono no ferro a 727 °C. Este valor geralmente é obtido a partir de tabelas ou equações empíricas. Para o ferro austenítico, uma estimativa comum para $ D $ a 727 °C é aproximadamente $ D = 1,0 \times 10^{-10} $ m²/s. (Nota: Esse valor pode variar dependendo da fonte, portanto, sempre verifique com dados específicos do material em questão.)

Passo 5

Agora, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para garantir a consistência:
  • Profundidade $ x = 0,3 $ mm = $ 0,3 \times 10^{-3} $ m
  • Tempo $ t = 1 $ hora = $ 3600 $ segundos

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
C(0,3 times 10^-3, 3600) = 1,2 times erf(0,3 times 10^-32raiz1,0 times 10^-10 times 3600) + 0,10 times [1 - erf(0,3 times 10^-32raiz1,0 times 10^-10 times 3600)]

Passo 7

Calculando o termo dentro da função erro:
0,3 times 10^-32raiz1,0 times 10^-10 times 3600 = 0,3 times 10^-32raiz3,6 times 10^-7 = 0,3 times 10^-32 times 6,0 times 10^-4 = 0,3 times 10^-31,2 times 10^-3 = 0,25

Passo 8

Agora, calculamos a função erro para 0,25. Utilizando uma tabela da função erro ou uma calculadora científica:
erf(0,25) approx 0,2763

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
C = 1,2 times 0,2763 + 0,10 times (1 - 0,2763) = 0,3316 + 0,10 times 0,7237 = 0,3316 + 0,0724 = 0,404 %

Resposta

Após 1 hora de carbonetação, a concentração de Carbono a uma profundidade de 0,3 mm é aproximadamente 0,40 %.

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