Considere lim (x, y) (0,0) x^2+y^2x y. Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta y=mx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite ao longo de qualquer reta da forma . Aqui estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos usar substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, como estamos analisando o limite ao longo da reta x^2 + y^2x cdot y = x^2 + (m x)^2x cdot (m x) , podemos substituir por na função original. Isso nos ajuda a transformar o limite em uma função de uma única variável, facilitando o cálculo.
Então, substituindo na função:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão resultante. Calculamos os termos ao quadrado e multiplicamos os denominadores:
x^2 + m^2 x^2m x^2 = x^2(1 + m^2)m x^2
Aqui, fatoramos no numerador.

Passo 4

Agora, podemos simplificar x^2(1 + m^2)m x^2 = 1 + m^2m no numerador e no denominador:
Perceba que se cancela, deixando uma expressão que depende apenas de .

Passo 5

Como 1 + m^2m é a inclinação da reta e estamos considerando (para evitar divisão por zero no denominador), a expressão final para o limite ao longo da reta é:

Resposta

O limite ao longo de qualquer reta é .

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