lim x -infty raiz3 x^2+12 x-2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: queremos encontrar o limite de raiz3x^2 + 12x - 2 quando x tende a -infty. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções racionais e com raízes quadradas, focando nos termos de maior grau.

Passo 2

Primeiro, observamos que, quando x se aproxima de -infty, os termos com maior potência de x são os que mais influenciam o comportamento da função. No numerador, temos raiz3x^2 + 1, onde 3x^2 é o termo dominante. No denominador, 2x é o termo dominante.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo os termos por x. No numerador, fazemos:
raiz3x^2 + 1 = |x| raiz3 + 1x^2
Como x tende a -infty, |x| = -x (pois x é negativo).

Passo 4

Substituindo de volta na função original:
raiz3x^2 + 12x - 2 = -x raiz3 + 1x^22x - 2

Passo 5

Agora, dividimos o numerador e o denominador por x:
-x raiz3 + 1x^22x - 2 = -raiz3 + 1x^22 - 2x

Passo 6

Vamos analisar o comportamento de cada parte quando x -infty:
  • raiz3 + 1x^2 raiz3, já que 1x^2 tende a 0.
  • 2x 0, porque um número dividido por algo que cresce sem limite negativo tende a 0.

Passo 7

Substituindo esses limites na expressão simplificada:
-raiz32 - 0 = -raiz32

Resposta

O limite é boxed -raiz32.

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