Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento
com uma densidade linear de cargas
. A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
d)
Considere, agora, que uma carga puntiforme
é trazida do infinito e colocada no ponto
formando um sistema fio + carga puntiforme. Qual é a energia potencial eletrostática desse sistema? Expresse sua resposta em função de
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo
, com comprimento total de
e densidade linear de carga
. O centro dessa linha está na origem do sistema de coordenadas. Agora, uma carga pontual
é trazida do infinito e colocada no ponto
, formando um sistema composto pela linha de carga e a carga pontual. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia potencial eletrostática desse sistema em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial eletrostática (
) entre duas distribuições de carga pode ser calculada pela interação entre elas. No nosso caso, temos uma linha de carga e uma carga pontual. A energia potencial será a energia necessária para trazer essa carga
do infinito até o ponto
na presença da linha de carga.
Passo 3
A expressão para a energia potencial eletrostática entre uma carga pontual
e uma distribuição contínua de carga é dada por:
onde
é o potencial elétrico no ponto
devido à linha de carga.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o potencial elétrico
no ponto
causado pela linha de carga. O potencial devido a uma linha de carga com densidade linear
é dado por:
Aqui,
é a variável de integração ao longo da linha de carga, que vai de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Essa integral é uma forma padrão que resulta em logaritmos. A solução é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Note que o denominador pode ser reescrito como
, já que
.
Passo 7
Agora, voltamos à expressão da energia potencial:
Essa é a energia potencial eletrostática do sistema em função de
.
Resposta
A energia potencial eletrostática do sistema é