3,0 Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento 2 L com uma densidade linear de cargas +lambda. A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
d) [1,0] Considere, agora, que uma carga puntiforme Q0 é trazida do infinito e colocada no ponto P(0,0, a) formando um sistema fio + carga puntiforme. Qual é a energia potencial eletrostática desse sistema? Expresse sua resposta em função de lambda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo , com comprimento total de e densidade linear de carga . O centro dessa linha está na origem do sistema de coordenadas. Agora, uma carga pontual é trazida do infinito e colocada no ponto , formando um sistema composto pela linha de carga e a carga pontual. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia potencial eletrostática desse sistema em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial eletrostática ( ) entre duas distribuições de carga pode ser calculada pela interação entre elas. No nosso caso, temos uma linha de carga e uma carga pontual. A energia potencial será a energia necessária para trazer essa carga do infinito até o ponto na presença da linha de carga.

Passo 3

A expressão para a energia potencial eletrostática entre uma carga pontual U = Q0 V(P) e uma distribuição contínua de carga é dada por:
onde é o potencial elétrico no ponto devido à linha de carga.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o potencial elétrico V(P) = 14pi varepsilon0 integral lambda , dz'raiza^2 + z'^2 no ponto causado pela linha de carga. O potencial devido a uma linha de carga com densidade linear é dado por:
Aqui, é a variável de integração ao longo da linha de carga, que vai de a .

Passo 5

Vamos resolver a integral:
V(P) = lambda4pi varepsilon0 integral-L^L dz'raiza^2 + z'^2
Essa integral é uma forma padrão que resulta em logaritmos. A solução é:
integral dz'raiza^2 + z'^2 = ln(z' + raiza^2 + z'^2) + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de V(P) = lambda4pi varepsilon0 [ ln(L + raiza^2 + L^2) - ln(-L + raiza^2 + L^2) ] a V(P) = lambda4pi varepsilon0 ln(L + raiza^2 + L^2-L + raiza^2 + L^2) :
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Note que o denominador pode ser reescrito como , já que .

Passo 7

Agora, voltamos à expressão da energia potencial:
U = Q0 V(P) = Q0 lambda4pi varepsilon0 ln(L + raiza^2 + L^2raiza^2 + L^2 - L)
Essa é a energia potencial eletrostática do sistema em função de .

Resposta

A energia potencial eletrostática do sistema é
U = Q0 lambda4pi varepsilon0 ln(L + raiza^2 + L^2raiza^2 + L^2 - L)

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