Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento
com uma densidade linear de cargas
. A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
c)
Mostre que, na condição de fio infinito
, o potencial eletrostático é dado por
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma linha retilínea de carga ao longo do eixo
, com comprimento total
e densidade linear de carga
. O centro dessa linha de carga está na origem do sistema de coordenadas. A gente precisa mostrar que, quando o fio é considerado infinito (ou seja,
é muito maior que
), o potencial eletrostático
é dado por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática relacionados ao cálculo do potencial devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático
devido a uma carga pontual é dado por:
Onde:
-
é a carga, -
é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o potencial, -
é a permissividade do vácuo.
Mas no nosso caso, temos uma distribuição contínua de carga ao longo de uma linha, então vamos precisar integrar esse potencial ao longo do comprimento da linha de carga.
Passo 3
Vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento
na linha de carga. A carga nesse elemento é
. A distância desse elemento ao ponto onde queremos calcular o potencial, que está a uma distância
do fio, pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que estamos lidando com uma linha reta:
Então, o potencial devido a esse elemento infinitesimal é:
Passo 4
Para encontrar o potencial total
, precisamos integrar
ao longo de toda a linha de carga, ou seja, de
a
:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, observamos que:
Para
, podemos simplificar
, então:
Mas isso tende a infinito, então precisamos reconsiderar a aproximação. Uma melhor aproximação para
é expandir a expressão logarítmica:
Passo 7
Portanto, substituindo essa aproximação na expressão do potencial, temos: