3,0 Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento 2 L com uma densidade linear de cargas +lambda. A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
c) [0,5] Mostre que, na condição de fio infinito (L gg a), o potencial eletrostático é dado por
phi(a)=lambda2 pi varepsilon0 ln (2 La)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma linha retilínea de carga ao longo do eixo phi(a) = lambda2 pi varepsilon0 ln (2 La) , com comprimento total e densidade linear de carga . O centro dessa linha de carga está na origem do sistema de coordenadas. A gente precisa mostrar que, quando o fio é considerado infinito (ou seja, é muito maior que ), o potencial eletrostático é dado por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática relacionados ao cálculo do potencial devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático phi = 14 pi varepsilon0 qr devido a uma carga pontual é dado por:
Onde:
  • é a carga,
  • é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o potencial,
  • é a permissividade do vácuo.
Mas no nosso caso, temos uma distribuição contínua de carga ao longo de uma linha, então vamos precisar integrar esse potencial ao longo do comprimento da linha de carga.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento r = raiza^2 + z^2 na linha de carga. A carga nesse elemento é dphi = 14 pi varepsilon0 dqr = 14 pi varepsilon0 lambda , dzraiza^2 + z^2 . A distância desse elemento ao ponto onde queremos calcular o potencial, que está a uma distância do fio, pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que estamos lidando com uma linha reta:
Então, o potencial devido a esse elemento infinitesimal é:

Passo 4

Para encontrar o potencial total phi(a) = lambda4 pi varepsilon0 integral-L^L dzraiza^2 + z^2 , precisamos integrar ao longo de toda a linha de carga, ou seja, de a :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de integral dzraiza^2 + z^2 = ln ( z + raiza^2 + z^2 ) + C em relação a phi(a) = lambda4 pi varepsilon0 [ ln ( L + raiza^2 + L^2 ) - ln ( -L + raiza^2 + L^2 ) ] é:
Aplicando os limites de integração de a , temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, observamos que:
ln ( L + raiza^2 + L^2 ) - ln ( -L + raiza^2 + L^2 ) = ln ( L + raiza^2 + L^2-L + raiza^2 + L^2 )
Para L + raiza^2 + L^2-L + raiza^2 + L^2 approx L + L-L + L = 2L0 , podemos simplificar ln ( 2La ) , então:
Mas isso tende a infinito, então precisamos reconsiderar a aproximação. Uma melhor aproximação para é expandir a expressão logarítmica:

Passo 7

Portanto, substituindo essa aproximação na expressão do potencial, temos:
phi(a) = lambda4 pi varepsilon0 cdot 2 ln ( 2La ) = lambda2 pi varepsilon0 ln ( 2La )

Resposta

phi(a) = lambda2 pi varepsilon0 ln ( 2La )

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