Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento com uma densidade linear de cargas . A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
b) [1,0] Calcule o potencial eletrostático, , num ponto P , que dista de , numa direção perpendicular ao eixo de simetria do fio;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma linha de carga retilínea esticada ao longo do eixo z, com comprimento total de e densidade linear de carga . O centro dessa linha de carga está na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial eletrostático, , num ponto que está a uma distância do centro, em uma direção perpendicular ao eixo dessa linha de carga. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre o potencial de uma distribuição contínua de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático devido a uma carga pontual é dado por:
onde é um elemento de carga, é a distância entre o elemento de carga e o ponto , e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos uma linha de carga contínua, precisamos integrar para encontrar o potencial total. Vamos parametrizar a posição ao longo do eixo z. Suponha que a coordenada z varia de a . Então, um elemento de carga pode ser expresso como:

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância entre o elemento de carga localizado em uma posição e o ponto . Como está a uma distância perpendicular ao eixo z, temos um triângulo retângulo onde:

Passo 5

Substituindo e na expressão do potencial, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o potencial total :

Passo 7

A integral que precisamos resolver é:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de a :

Passo 9

Simplificando a expressão, lembrando que :

Passo 10

Observando que , podemos reescrever:

Passo 11

Essa expressão pode ser simplificada usando a identidade:
Mas para ficar mais claro, deixaremos na forma de logaritmos simples.

Resposta

Portanto, o potencial eletrostático no ponto é dado por:

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