3,0 Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento 2 L com uma densidade linear de cargas +lambda. A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
b) [1,0] Calcule o potencial eletrostático, phi, num ponto P , que dista de a, numa direção perpendicular ao eixo de simetria do fio;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma linha de carga retilínea esticada ao longo do eixo z, com comprimento total de 2L e densidade linear de carga +lambda. O centro dessa linha de carga está na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial eletrostático, phi, num ponto P que está a uma distância a do centro, em uma direção perpendicular ao eixo dessa linha de carga. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre o potencial de uma distribuição contínua de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático devido a uma carga pontual é dado por:
dphi = 14pivarepsilon0 dqr
onde dq é um elemento de carga, r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos uma linha de carga contínua, precisamos integrar para encontrar o potencial total. Vamos parametrizar a posição ao longo do eixo z. Suponha que a coordenada z varia de -L a L. Então, um elemento de carga dq pode ser expresso como:
dq = lambda , dz

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância r entre o elemento de carga localizado em uma posição z e o ponto P. Como P está a uma distância a perpendicular ao eixo z, temos um triângulo retângulo onde:
r = raiza^2 + z^2

Passo 5

Substituindo dq e r na expressão do potencial, temos:
dphi = 14pivarepsilon0 lambda , dzraiza^2 + z^2

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de z = -L até z = L para encontrar o potencial total phi:
phi = lambda4pivarepsilon0 integral-L^L dzraiza^2 + z^2

Passo 7

A integral que precisamos resolver é:
integral dzraiza^2 + z^2 = ln(z + raiza^2 + z^2) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de -L a L:
phi = lambda4pivarepsilon0 [ ln(L + raiza^2 + L^2) - ln(-L + raiza^2 + L^2) ]

Passo 9

Simplificando a expressão, lembrando que ln(a) - ln(b) = ln(ab):
phi = lambda4pivarepsilon0 ln(L + raiza^2 + L^2-L + raiza^2 + L^2)

Passo 10

Observando que -L + raiza^2 + L^2 = raiza^2 + L^2 - L, podemos reescrever:
phi = lambda4pivarepsilon0 ln(L + raiza^2 + L^2raiza^2 + L^2 - L)

Passo 11

Essa expressão pode ser simplificada usando a identidade:
ln(A + BB - A) = 2 tanh^-1(AB)
Mas para ficar mais claro, deixaremos na forma de logaritmos simples.

Resposta

Portanto, o potencial eletrostático no ponto P é dado por:
phi = lambda4pivarepsilon0 ln(L + raiza^2 + L^2raiza^2 + L^2 - L)

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