Considere uma linha retilínea de cargas ao longo do eixo z, de comprimento
com uma densidade linear de cargas
. A linha de cargas está com o seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas
b) [1,0] Calcule o potencial eletrostático,
, num ponto P , que dista de
, numa direção perpendicular ao eixo de simetria do fio;
b) [1,0] Calcule o potencial eletrostático,
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma linha de carga retilínea esticada ao longo do eixo z, com comprimento total de
e densidade linear de carga
. O centro dessa linha de carga está na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial eletrostático,
, num ponto
que está a uma distância
do centro, em uma direção perpendicular ao eixo dessa linha de carga. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre o potencial de uma distribuição contínua de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático devido a uma carga pontual é dado por:
onde
é um elemento de carga,
é a distância entre o elemento de carga e o ponto
, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos uma linha de carga contínua, precisamos integrar para encontrar o potencial total. Vamos parametrizar a posição ao longo do eixo z. Suponha que a coordenada z varia de
a
. Então, um elemento de carga
pode ser expresso como:
Passo 4
Agora, vamos determinar a distância
entre o elemento de carga localizado em uma posição
e o ponto
. Como
está a uma distância
perpendicular ao eixo z, temos um triângulo retângulo onde:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do potencial, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o potencial total
:
Passo 7
A integral que precisamos resolver é:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 9
Simplificando a expressão, lembrando que
:
Passo 10
Observando que
, podemos reescrever:
Passo 11
Essa expressão pode ser simplificada usando a identidade:
Mas para ficar mais claro, deixaremos na forma de logaritmos simples.
Resposta
Portanto, o potencial eletrostático no ponto
é dado por:
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