Demonstrar que se plotar gráfico de energia cinética de um ponto material
como função de caminho passado
, a força que age em cada ponto de caminho ao longo do caminho (i.e., na direção instantâneo de movimento
) vai ser dada como tangente de angulo da curva no gráfico com eixo
. [Dica: Relembra a noção de diferencial de uma variável e o significativo geométrico de derivada e usa isso.]
Passo 1
Vamos analisar o problema que foi proposto. Precisamos demonstrar que, ao plotar o gráfico da energia cinética de um ponto material, dada por
, em função do caminho percorrido
, a força que age em cada ponto do caminho na direção instantânea de movimento (
) é igual à tangente do ângulo formado pela curva no gráfico com o eixo
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivada, que representa a taxa de variação de uma função em relação a uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética (
) de um objeto é dada por:
Onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade do objeto em função do tempo.
Queremos expressar
em função do caminho percorrido
. Para isso, reconhecemos que a velocidade é a derivada do caminho em relação ao tempo:
Passo 3
Substituindo
na expressão da energia cinética, temos:
Agora, para obter
em função de
, precisamos relacionar a variação de
com a variação de
. Isso envolve calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos:
Sabemos que:
E também:
Portanto:
Passo 5
A força (
) que age na direção do movimento é relacionada à aceleração (
) pela segunda lei de Newton:
Comparando com a expressão obtida para
, vemos que:
Passo 6
No gráfico de
versus
, a derivada
representa a inclinação da curva nesse ponto específico. Geometricamente, essa inclinação é a tangente do ângulo (
) que a curva forma com o eixo
:
Resposta
Portanto, a força que age em cada ponto do caminho na direção instantânea de movimento é igual à tangente do ângulo que a curva da energia cinética forma com o eixo
no gráfico
versus
.
Exercícios relacionados
b) [1,0] Calcule o potencial eletrostático,
(A) Qual trabalho seja feito para deslizar um objeto de massa
ao longo de um moro fazendo o caminho
até sua altura
se o coeficiente de atrito entre o objeto e o moro é fixo
. (B) Será que esse trabalho em (A) depende de variação de inclinação de moro ao longo de caminho? Se depende, então como e no qual caso?
(a)
Os capacitores são, então, desligados da bateria e uma chapa de dielétrico com
(e)