Demonstrar que se plotar gráfico de energia cinética de um ponto material m v(t)^22 como função de caminho passado s(t), a força que age em cada ponto de caminho ao longo do caminho (i.e., na direção instantâneo de movimento F cdot v|v| ) vai ser dada como tangente de angulo da curva no gráfico com eixo x. [Dica: Relembra a noção de diferencial de uma variável e o significativo geométrico de derivada e usa isso.]

Passo 1

Vamos analisar o problema que foi proposto. Precisamos demonstrar que, ao plotar o gráfico da energia cinética de um ponto material, dada por , em função do caminho percorrido , a força que age em cada ponto do caminho na direção instantânea de movimento ( ) é igual à tangente do ângulo formado pela curva no gráfico com o eixo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivada, que representa a taxa de variação de uma função em relação a uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( Ec = 12 m v(t)^2 ) de um objeto é dada por:
v(t) = ds(t)dt
Onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a velocidade do objeto em função do tempo.
Queremos expressar em função do caminho percorrido . Para isso, reconhecemos que a velocidade é a derivada do caminho em relação ao tempo:

Passo 3

Substituindo Ec = 12 m ( ds(t)dt )^2 na expressão da energia cinética, temos:
Agora, para obter em função de , precisamos relacionar a variação de com a variação de . Isso envolve calcular a derivada de em relação a .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos:
dEcds = dEcdt cdot dtds
Sabemos que:
dtds = 1v(t) = 1ds(t)dt = 1v
E também:
dEcdt = m v(t) dv(t)dt
Portanto:
dEcds = m v(t) dv(t)dt cdot 1v(t) = m dv(t)dt

Passo 5

A força ( F = m a = m dv(t)dt ) que age na direção do movimento é relacionada à aceleração ( dEcds = F ) pela segunda lei de Newton:
Comparando com a expressão obtida para , vemos que:

Passo 6

No gráfico de tan(theta) = dEcds = F versus , a derivada representa a inclinação da curva nesse ponto específico. Geometricamente, essa inclinação é a tangente do ângulo ( ) que a curva forma com o eixo :

Resposta

Portanto, a força que age em cada ponto do caminho na direção instantânea de movimento é igual à tangente do ângulo que a curva da energia cinética forma com o eixo no gráfico versus .

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