Considere um líquido newtoniano (de viscosidade mu e densidade rho ) em fluxo laminar descendo uma placa plana inclinada de comprimento L e largura W . O líquido flui como um filme descendente com ondulações insignificantes, apenas sob a influência da gravidade. Obtenha uma expressão para velocidade do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um líquido newtoniano, que é aquele cuja viscosidade mu não depende da taxa de deformação, e com densidade rho. Esse líquido está fluindo de maneira laminar, ou seja, sem turbulência, sobre uma placa plana inclinada com comprimento L e largura W. A tarefa é encontrar uma expressão para a velocidade do fluido.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar e a condição de equilíbrio entre as forças viscosas e a força gravitacional que impulsiona o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças atuando no fluido. Como o fluxo é laminar e as ondulações são insignificantes, podemos assumir que a velocidade só varia na direção perpendicular à placa, ou seja, na direção y. A força gravitacional que faz o fluido descer tem componente na direção do fluxo devido à inclinação da placa.

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para esse caso simplificado, onde não há variação de velocidade na direção do fluxo ( x) e nenhuma aceleração, se reduz a:
0 = rho g sin(theta) - mu d^2 udy^2
Aqui, g é a aceleração da gravidade e theta é o ângulo de inclinação da placa.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para facilitar a integração:
d^2 udy^2 = rho g sin(theta)mu
Isso nos mostra que a segunda derivada da velocidade em relação a y é constante.

Passo 5

Integrando a equação uma vez em relação a y, obtemos:
dudy = rho g sin(theta)mu y + C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 6

Integrando novamente para encontrar u(y):
u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 + C1 y + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno. Na placa ( y=0), a velocidade do fluido deve ser zero devido à condição de aderência (sem deslizamento). Então:
u(0) = 0 Rightarrow C2 = 0

Passo 8

Também, no topo do filme ( y = h), assumimos que a tensão de cisalhamento é zero, ou seja, dudy = 0. Aplicando isso:
0 = rho g sin(theta)mu h + C1 Rightarrow C1 = -rho g sin(theta)mu h

Passo 9

Substituindo C1 de volta na expressão de u(y):
u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 - rho g sin(theta)mu h y
Podemos reescrever isso como:
u(y) = rho g sin(theta)2mu (y^2 - 2hy)

Passo 10

Fatorando a expressão, temos:
u(y) = rho g sin(theta)2mu (h^2 - (h - y)^2)
Mas para simplificar, continuamos com a expressão quadrática:
u(y) = rho g sin(theta)2mu y (h - y)

Resposta

A expressão para a velocidade do fluido é:
u(y) = rho g sin(theta)2mu y (h - y)

Exercícios relacionados