Considere um líquido newtoniano (de viscosidade
e densidade
) em fluxo laminar descendo uma placa plana inclinada de comprimento L e largura W . O líquido flui como um filme descendente com ondulações insignificantes, apenas sob a influência da gravidade. Obtenha uma expressão para velocidade do fluido.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um líquido newtoniano, que é aquele cuja viscosidade
não depende da taxa de deformação, e com densidade
. Esse líquido está fluindo de maneira laminar, ou seja, sem turbulência, sobre uma placa plana inclinada com comprimento
e largura
. A tarefa é encontrar uma expressão para a velocidade do fluido.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar e a condição de equilíbrio entre as forças viscosas e a força gravitacional que impulsiona o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças atuando no fluido. Como o fluxo é laminar e as ondulações são insignificantes, podemos assumir que a velocidade só varia na direção perpendicular à placa, ou seja, na direção
. A força gravitacional que faz o fluido descer tem componente na direção do fluxo devido à inclinação da placa.
Passo 3
A equação de Navier-Stokes para esse caso simplificado, onde não há variação de velocidade na direção do fluxo (
) e nenhuma aceleração, se reduz a:
Aqui,
é a aceleração da gravidade e
é o ângulo de inclinação da placa.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para facilitar a integração:
Isso nos mostra que a segunda derivada da velocidade em relação a
é constante.
Passo 5
Integrando a equação uma vez em relação a
, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Integrando novamente para encontrar
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de contorno. Na placa (
), a velocidade do fluido deve ser zero devido à condição de aderência (sem deslizamento). Então:
Passo 8
Também, no topo do filme (
), assumimos que a tensão de cisalhamento é zero, ou seja,
. Aplicando isso:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 10
Fatorando a expressão, temos:
Mas para simplificar, continuamos com a expressão quadrática:
Resposta
A expressão para a velocidade do fluido é:
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