Considere um líquido newtoniano (de viscosidade e densidade ) em fluxo laminar descendo uma placa plana inclinada de comprimento L e largura W . O líquido flui como um filme descendente com ondulações insignificantes, apenas sob a influência da gravidade. Obtenha uma expressão para velocidade do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um líquido newtoniano, que é aquele cuja viscosidade não depende da taxa de deformação, e com densidade . Esse líquido está fluindo de maneira laminar, ou seja, sem turbulência, sobre uma placa plana inclinada com comprimento e largura . A tarefa é encontrar uma expressão para a velocidade do fluido.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar e a condição de equilíbrio entre as forças viscosas e a força gravitacional que impulsiona o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças atuando no fluido. Como o fluxo é laminar e as ondulações são insignificantes, podemos assumir que a velocidade só varia na direção perpendicular à placa, ou seja, na direção . A força gravitacional que faz o fluido descer tem componente na direção do fluxo devido à inclinação da placa.

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para esse caso simplificado, onde não há variação de velocidade na direção do fluxo ( ) e nenhuma aceleração, se reduz a:
Aqui, é a aceleração da gravidade e é o ângulo de inclinação da placa.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para facilitar a integração:
Isso nos mostra que a segunda derivada da velocidade em relação a é constante.

Passo 5

Integrando a equação uma vez em relação a , obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Integrando novamente para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno. Na placa ( ), a velocidade do fluido deve ser zero devido à condição de aderência (sem deslizamento). Então:

Passo 8

Também, no topo do filme ( ), assumimos que a tensão de cisalhamento é zero, ou seja, . Aplicando isso:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos reescrever isso como:

Passo 10

Fatorando a expressão, temos:
Mas para simplificar, continuamos com a expressão quadrática:

Resposta

A expressão para a velocidade do fluido é:

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