Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente precisa trabalhar com equações diferenciais e, especificamente, identificar os pontos críticos e esboçar os campos de direção para a equação dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como analisar o comportamento da solução através do campo de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da equação diferencial. Isso acontece quando a derivada é igual a zero, ou seja:
Resolvendo essa equação:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da solução em torno desses pontos críticos usando o campo de direção. O campo de direção nos mostra a inclinação das soluções em diferentes pontos do gráfico.
Para isso, vamos observar o sinal de em diferentes intervalos de :
  1. Quando :
    • é negativo.
    • é maior que 3 (positivo).
    • Então, é negativo.
    • As setas no campo de direção apontam para baixo.
  2. Quando :
    • é positivo.
    • também é positivo.
    • Então, é positivo.
    • As setas no campo de direção apontam para cima.
  3. Quando :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Então, é negativo.
    • As setas no campo de direção apontam para baixo.

Resposta

Os pontos críticos da equação diferencial são e . No campo de direção, as soluções tendem a subir quando e a descer quando ou , indicando que é um ponto estável e também é um ponto estável.

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e) é contínua em ? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo ?
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Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada: