Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente precisa trabalhar com equações diferenciais e, especificamente, identificar os pontos críticos e esboçar os campos de direção para a equação dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como analisar o comportamento da solução através do campo de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da equação diferencial. Isso acontece quando a derivada
é igual a zero, ou seja:
Resolvendo essa equação:
-
-
→
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da solução em torno desses pontos críticos usando o campo de direção. O campo de direção nos mostra a inclinação das soluções em diferentes pontos do gráfico.
Para isso, vamos observar o sinal de
em diferentes intervalos de
:
-
Quando
: -
é negativo. -
é maior que 3 (positivo). - Então,
é negativo. - As setas no campo de direção apontam para baixo.
-
-
Quando
: -
é positivo. -
também é positivo. - Então,
é positivo. - As setas no campo de direção apontam para cima.
-
-
Quando
: -
é positivo. -
é negativo. - Então,
é negativo. - As setas no campo de direção apontam para baixo.
-
Resposta
Os pontos críticos da equação diferencial
são
e
. No campo de direção, as soluções tendem a subir quando
e a descer quando
ou
, indicando que
é um ponto estável e
também é um ponto estável.