Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
, com a condição inicial
. Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos leve à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. Ou seja, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos
na função potencial
:
Passo 8
Como
é constante na solução geral, temos:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Agora, substituímos
na equação geral:
Esta é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por: