Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
(4y + 2x - 5) dx + (6y + 4x - 1) = 0 ; y(-1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui: , com a condição inicial y(-1) = 2. Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos leve à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . Ou seja, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar M(x, y) em relação a x:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a y e igualamos a N(x, y) para encontrar :
Cancelando dos dois lados:

Passo 6

Integrando em relação a y:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos na função potencial :

Passo 8

Como é constante na solução geral, temos:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar C:

Passo 10

Agora, substituímos C na equação geral:
Esta é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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