Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolver ela. Estamos lidando com equações diferenciais que envolvem funções de duas variáveis,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar se a nossa equação se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a nossa equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais.
Nossa equação é:
Aqui, temos:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Explicando cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
usa a regra do produto: derivada de é 1 vezes mais vezes a derivada de que é . Então, fica .
Agora, calculando
:
Explicando:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
usa a regra do produto: derivada de é 1 vezes mais vezes a derivada de que é . Então, fica . - A derivada de
em relação a é 0.
Passo 4
Agora que temos:
Vemos que
. Isso significa que a equação é exata!
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
-
(já que é tratado como constante). -
Para o segundo termo, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
. Então:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Sabemos que isso deve ser igual a
. Então:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Então, a função
completa é:
Resposta
A solução geral da equação é dada por
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Continuidade de funções.
e) é contínua em
? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo ?
e)
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo
Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.