Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolver ela. Estamos lidando com equações diferenciais que envolvem funções de duas variáveis, e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar se a nossa equação se encaixa nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que:
Para verificar se a nossa equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais.
Nossa equação é:
Aqui, temos:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Explicando cada parte:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de usa a regra do produto: derivada de é 1 vezes mais vezes a derivada de que é . Então, fica .
Agora, calculando :
Explicando:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de usa a regra do produto: derivada de é 1 vezes mais vezes a derivada de que é . Então, fica .
  • A derivada de em relação a é 0.

Passo 4

Agora que temos:
Vemos que . Isso significa que a equação é exata!

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Integrando termo a termo:
  1. (já que é tratado como constante).
Para o segundo termo, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Então:
Então, juntando tudo:
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Sabemos que isso deve ser igual a . Então:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Então, a função completa é:

Resposta

A solução geral da equação é dada por
onde é uma constante.

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