Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos uma equação diferencial dada por
e precisamos identificar os pontos críticos dessa equação e esboçar o campo de direção correspondente. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos em equações diferenciais e como desenhar o campo de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada
é igual a zero. Esses pontos representam soluções constantes da equação diferencial.
Passo 3
Vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o campo de direção. O campo de direção mostra a inclinação das soluções em diferentes pontos. Para isso, observamos o sinal de
em relação a
:
-
Para
: Isso significa queestá diminuindo. -
Para
: Isso indica queestá aumentando. -
Em
: Aqui,permanece constante.
Passo 5
Com base nessa análise, podemos esboçar o campo de direção:
- Acima de
: As setas no campo apontam para baixo, indicando que a solução está diminuindo. - Abaixo de
: As setas apontam para cima, indicando que a solução está aumentando. - Em
: As setas são horizontais, mostrando que essa é uma solução constante.
Resposta
O ponto crítico é
. No campo de direção, para
, as setas apontam para baixo; para
, as setas apontam para cima; e em
, as setas são horizontais.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Esboce o campo direcional da EDO dy/dx
. Construa uma tabela com alguns pontos. Em seguida, esboce a curva solução aproximada que passar por
.
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.