Considere
e determine todas as matrizes
que comutam com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as matrizes
que comutam com a matriz
. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de comutatividade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender o que significa duas matrizes comutarem, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica
de ordem
:
Agora, vamos calcular tanto
quanto
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
Para que
comute com
, precisamos que
. Portanto, vamos igualar as matrizes resultantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar cada equação:
-
→ Cancelando , temos → -
→ Cancelando , temos → -
→ Cancelando , temos → (concorda com a equação anterior) -
→ Cancelando , temos → (já sabemos que )
Passo 5
Das equações, vimos que
e
. Portanto, qualquer matriz
que comute com
deve ter a forma:
Resposta
Todas as matrizes
que comutam com
são da forma
, onde
e
são números reais.