Considere e determine todas as matrizes que comutam com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz . Isso faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de comutatividade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender o que significa duas matrizes comutarem, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica de ordem :
Agora, vamos calcular tanto quanto .
Calculando :
Calculando :
Passo 3
Para que comute com , precisamos que . Portanto, vamos igualar as matrizes resultantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar cada equação:
→ Cancelando , temos →
→ Cancelando , temos →
→ Cancelando , temos → (concorda com a equação anterior)
→ Cancelando , temos → (já sabemos que )
Passo 5
Das equações, vimos que e . Portanto, qualquer matriz que comute com deve ter a forma:
Resposta
Todas as matrizes que comutam com são da forma , onde e são números reais.