Considere A=[ll1 & 2 2 & 1] e determine todas as matrizes 2 times 2 que comutam com A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as matrizes 1 & 2 2 & 1 que comutam com a matriz . Isso faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de comutatividade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender o que significa duas matrizes comutarem, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica X = a & b c & d de ordem XA = a & b c & d 1 & 2 2 & 1 = a cdot 1 + b cdot 2 & a cdot 2 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 2 & c cdot 2 + d cdot 1 = a + 2b & 2a + b c + 2d & 2c + d :
AX = 1 & 2 2 & 1 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 2 cdot a + 1 cdot c & 2 cdot b + 1 cdot d = a + 2c & b + 2d 2a + c & 2b + d
Agora, vamos calcular tanto quanto .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Para que a + 2b & 2a + b c + 2d & 2c + d = a + 2c & b + 2d 2a + c & 2b + d comute com , precisamos que . Portanto, vamos igualar as matrizes resultantes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos simplificar cada equação:
  1. → Cancelando , temos
  2. → Cancelando , temos
  3. → Cancelando , temos (concorda com a equação anterior)
  4. → Cancelando , temos (já sabemos que )

Passo 5

Das equações, vimos que X = a & b b & a e . Portanto, qualquer matriz que comute com deve ter a forma:

Resposta

Todas as matrizes a & b b & a que comutam com são da forma , onde e são números reais.

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