Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
c) V=R^3, (a, b, c)+(e, f, g)=(a+e, b+f, c+g) e alpha(a, b, c)=(alpha a, b, c).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem o conjunto com duas operações definidas: a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo aqui é verificar se, com essas operações, realmente forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são cumpridos ou não com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser um espaço vetorial. São eles:
  1. Associatividade da Adição:
  2. Comutatividade da Adição:
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero tal que
  4. Inverso Adicional: Para todo , existe tal que
  5. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
  6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
  7. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
  8. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:

Passo 3

Vamos começar verificando cada um desses axiomas com as operações definidas:
Axioma 1: Associatividade da Adição
Para qualquer (u + v) + w = (a + e, b + f, c + g) + (i, j, k) = (a + e + i, b + f + j, c + g + k) ,
u + (v + w) = (a, b, c) + (e + i, f + j, g + k) = (a + e + i, b + f + j, c + g + k)
u + v = (a + e, b + f, c + g)
Como os resultados são iguais, o axioma da associatividade da adição é satisfeito.
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Para qualquer v + u = (e + a, f + b, g + c) ,
u + 0 = (a, b, c) + (0, 0, 0) = (a + 0, b + 0, c + 0) = (a, b, c) = u
u + (-u) = (a, b, c) + (-a, -b, -c) = (a - a, b - b, c - c) = (0, 0, 0) = 0
Como a adição de números reais é comutativa, temos alpha(u + v) = alpha(a + e, b + f, c + g) = (alpha(a + e), b + f, c + g) . A comutatividade da adição é satisfeita.
Axioma 3: Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor alpha u + alpha v = (alpha a, b, c) + (alpha e, f, g) = (alpha a + alpha e, b + f, c + g) tal que (alpha(a + e), b + f, c + g) neq (alpha a + alpha e, b + f, c + g) .
(alpha + beta)u = (alpha + beta)(a, b, c) = ((alpha + beta)a, b, c)
Portanto, o vetor zero alpha u + beta u = (alpha a, b, c) + (beta a, b, c) = (alpha a + beta a, b + b, c + c) é o elemento neutro da adição.
Axioma 4: Inverso Adicional
Para qualquer ((alpha + beta)a, b, c) neq (alpha a + beta a, 2b, 2c) , seu inverso adicional seria alpha(beta u) = alpha(beta a, b, c) = (alpha cdot beta a, b, c) , pois:
(alpha beta)u = (alpha beta a, b, c)
Assim, todo vetor tem um inverso adicional.
Axioma 5: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Vamos verificar se 1u = (1 cdot a, b, c) = (a, b, c) = u :
Comparando as duas expressões:
A primeira componente não é igual, a menos que , o que é verdade porque . Portanto, este axioma é satisfeito.
Axioma 6: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar se :
Comparando:
Aqui, vemos que as segundas e terceiras componentes não são iguais, a menos que . Portanto, o axioma da distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeito.
Axioma 7: Compatibilidade da Multiplicação por Escalar
Verificamos se :
As duas expressões são iguais, então este axioma é satisfeito.
Axioma 8: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Vamos ver se :
Assim, o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeito.

Resposta

Os conjuntos com as operações definidas não formam um espaço vetorial porque o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.

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