Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem o conjunto
com duas operações definidas: a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo aqui é verificar se, com essas operações,
realmente forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são cumpridos ou não com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser um espaço vetorial. São eles:
- Associatividade da Adição:
- Comutatividade da Adição:
- Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero
tal que - Inverso Adicional: Para todo
, existe tal que - Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
- Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
- Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
Passo 3
Vamos começar verificando cada um desses axiomas com as operações definidas:
Axioma 1: Associatividade da Adição
Para qualquer
,
Como os resultados são iguais, o axioma da associatividade da adição é satisfeito.
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Para qualquer
,
Como a adição de números reais é comutativa, temos
. A comutatividade da adição é satisfeita.
Axioma 3: Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Portanto, o vetor zero
é o elemento neutro da adição.
Axioma 4: Inverso Adicional
Para qualquer
, seu inverso adicional seria
, pois:
Assim, todo vetor tem um inverso adicional.
Axioma 5: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Vamos verificar se
:
Comparando as duas expressões:
A primeira componente não é igual, a menos que
, o que é verdade porque
. Portanto, este axioma é satisfeito.
Axioma 6: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar se
:
Comparando:
Aqui, vemos que as segundas e terceiras componentes não são iguais, a menos que
. Portanto, o axioma da distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeito.
Axioma 7: Compatibilidade da Multiplicação por Escalar
Verificamos se
:
As duas expressões são iguais, então este axioma é satisfeito.
Axioma 8: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Vamos ver se
:
Assim, o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeito.
Resposta
Os conjuntos
com as operações definidas não formam um espaço vetorial porque o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.
Exercícios relacionados
Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
a.
a.
Considere
e determine todas as matrizes
que comutam com
.
Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
f.
f.
Verdadeiro ou falso? Justifique!
( ) Um vetor é um segmento de reta orientado (seta).
( ) Um vetor é uma ênupla de números reais.
( ) Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial.
( ) O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real.
( ) O conjunto unitário , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
( ) com as operações usuais não é espaço vetorial real;
( ) e
são espaços vetoriais;
( ) Um vetor é um segmento de reta orientado (seta).
( ) Um vetor é uma ênupla de números reais.
( ) Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial.
( ) O conjunto
( ) O conjunto unitário
( )
( )