Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem o conjunto
com duas operações definidas: a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo aqui é verificar se, com essas operações,
realmente forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são cumpridos ou não com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser um espaço vetorial. São eles:
- Associatividade da Adição:
- Comutatividade da Adição:
- Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero
tal que - Inverso Adicional: Para todo
, existe tal que - Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
- Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
- Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
Passo 3
Vamos começar verificando cada um desses axiomas com as operações definidas:
Axioma 1: Associatividade da Adição
Para qualquer
,
Como os resultados são iguais, o axioma da associatividade da adição é satisfeito.
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Para qualquer
,
Como a adição de números reais é comutativa, temos
. A comutatividade da adição é satisfeita.
Axioma 3: Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Portanto, o vetor zero
é o elemento neutro da adição.
Axioma 4: Inverso Adicional
Para qualquer
, seu inverso adicional seria
, pois:
Assim, todo vetor tem um inverso adicional.
Axioma 5: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Vamos verificar se
:
Comparando as duas expressões:
A primeira componente não é igual, a menos que
, o que é verdade porque
. Portanto, este axioma é satisfeito.
Axioma 6: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar se
:
Comparando:
Aqui, vemos que as segundas e terceiras componentes não são iguais, a menos que
. Portanto, o axioma da distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeito.
Axioma 7: Compatibilidade da Multiplicação por Escalar
Verificamos se
:
As duas expressões são iguais, então este axioma é satisfeito.
Axioma 8: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Vamos ver se
:
Assim, o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeito.
Resposta
Os conjuntos
com as operações definidas não formam um espaço vetorial porque o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.