Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Temos que verificar se a proposição "Se
é uma matriz invertível, então
" é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes quadradas e vamos precisar lembrar sobre a propriedade da traça (trace) e como ela se comporta com similares de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a traça de uma matriz. A traça de uma matriz
, denotada por
, é a soma dos elementos da diagonal principal de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão
. Quando você tem
, isso significa que estamos realizando uma transformação de similaridade em
. Matrizes similares têm propriedades importantes em comum, como o traço e o determinante.
Passo 4
Uma propriedade importante das matrizes similares é que elas têm o mesmo traço. Portanto,
.
Passo 5
Isso porque, ao calcular a traça de
, estamos apenas mudando a base em que a matriz
está representada, mas a soma dos elementos da diagonal principal permanece a mesma.
Resposta
A proposição é Verdadeira. Para qualquer matriz invertível
, temos
.