Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Temos que verificar se a proposição "Se é uma matriz invertível, então " é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes quadradas e vamos precisar lembrar sobre a propriedade da traça (trace) e como ela se comporta com similares de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a traça de uma matriz. A traça de uma matriz , denotada por , é a soma dos elementos da diagonal principal de .
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão . Quando você tem , isso significa que estamos realizando uma transformação de similaridade em . Matrizes similares têm propriedades importantes em comum, como o traço e o determinante.
Passo 4
Uma propriedade importante das matrizes similares é que elas têm o mesmo traço. Portanto, .
Passo 5
Isso porque, ao calcular a traça de , estamos apenas mudando a base em que a matriz está representada, mas a soma dos elementos da diagonal principal permanece a mesma.
Resposta
A proposição é Verdadeira. Para qualquer matriz invertível , temos .