Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
h) Se P é uma matriz invertível, então tr(P A P^-1)=tr(A) éíã

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos que verificar se a proposição "Se é uma matriz invertível, então " é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes quadradas e vamos precisar lembrar sobre a propriedade da traça (trace) e como ela se comporta com similares de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a traça de uma matriz. A traça de uma matriz , denotada por , é a soma dos elementos da diagonal principal de .

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão . Quando você tem , isso significa que estamos realizando uma transformação de similaridade em . Matrizes similares têm propriedades importantes em comum, como o traço e o determinante.

Passo 4

Uma propriedade importante das matrizes similares é que elas têm o mesmo traço. Portanto, .

Passo 5

Isso porque, ao calcular a traça de , estamos apenas mudando a base em que a matriz está representada, mas a soma dos elementos da diagonal principal permanece a mesma.

Resposta

A proposição é Verdadeira. Para qualquer matriz invertível , temos .

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