Considere
. Sabendo que
e
são autovetores de
, utilize a forma diagonal para encontrar
… (serão aceitos números em forma de potência)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
e dois vetores
e
que são autovetores de
. O objetivo aqui é encontrar
usando a forma diagonal da matriz. Isso envolve conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Vamos precisar entender como diagonalizar uma matriz e como usar isso para calcular potências altas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como
, onde
é a matriz cujas colunas são os autovetores de
, e
é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores correspondentes.
Passo 3
Já temos os autovetores
e
. Vamos organizar esses vetores como colunas na matriz
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores correspondentes a esses autovetores. Sabemos que para cada autovetor
, existe um autovalor
tal que
.
Vamos calcular
:
Então,
Isso nos mostra que
.
Passo 5
Fazendo o mesmo para
:
Então,
Isso nos mostra que
.
Passo 6
Agora que temos os autovalores, podemos montar a matriz diagonal
:
Passo 7
Sabendo que
, para achar
, elevamos cada parte da igualdade à potência 100:
Isso acontece porque a diagonalização transforma a matriz em uma forma onde é fácil elevar à potência desejada.
Passo 8
Calculamos
elevando cada elemento diagonal à potência 100:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar
. Para a matriz
, o inverso é calculado da seguinte forma:
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Então,
Passo 10
Finalmente, substituímos tudo na expressão
:
Esse produto resultará na matriz
, onde cada elemento é calculado multiplicando as matrizes na ordem correta.
Resposta
A matriz
é dada por:
Você pode calcular os produtos das matrizes para obter os valores numéricos finais de cada elemento em
.