Considere A=(ll3 & 1 1 & 3). Sabendo que v1=binom-11 e v2=binom11 são autovetores de A, utilize a forma diagonal para encontrar A^100=A A… (serão aceitos números em forma de potência)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 3 & 1 1 & 3 e dois vetores -1 1 e 1 1 que são autovetores de . O objetivo aqui é encontrar usando a forma diagonal da matriz. Isso envolve conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Vamos precisar entender como diagonalizar uma matriz e como usar isso para calcular potências altas dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como , onde é a matriz cujas colunas são os autovetores de , e é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores correspondentes.

Passo 3

Já temos os autovetores P = -1 & 1 1 & 1 e . Vamos organizar esses vetores como colunas na matriz :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores correspondentes a esses autovetores. Sabemos que para cada autovetor A v1 = 3 & 1 1 & 3 -1 1 = 3(-1) + 1(1) 1(-1) + 3(1) = -3 + 1 -1 + 3 = -2 2 , existe um autovalor A v1 = -2 -1 1 = lambda1 v1 tal que .
Vamos calcular :
Então,
Isso nos mostra que .

Passo 5

Fazendo o mesmo para A v2 = 3 & 1 1 & 3 1 1 = 3(1) + 1(1) 1(1) + 3(1) = 4 4 :
A v2 = 4 1 1 = lambda2 v2
Então,
Isso nos mostra que .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, podemos montar a matriz diagonal D = lambda1 & 0 0 & lambda2 = 2 & 0 0 & 4 :

Passo 7

Sabendo que A^100 = (P D P^-1)^100 = P D^100 P^-1 , para achar , elevamos cada parte da igualdade à potência 100:
Isso acontece porque a diagonalização transforma a matriz em uma forma onde é fácil elevar à potência desejada.

Passo 8

Calculamos D^100 = 2^100 & 0 0 & 4^100 elevando cada elemento diagonal à potência 100:

Passo 9

Agora, precisamos encontrar -1 & 1 1 & 1 . Para a matriz det(P) = (-1)(1) - (1)(1) = -1 -1 = -2 , o inverso é calculado da seguinte forma:
Primeiro, calculamos o determinante de P^-1 = 1det(P) 1 & -1 -1 & -1 = 1-2 1 & -1 -1 & -1 = -12 & 12 12 & 12 :
Então,

Passo 10

Finalmente, substituímos tudo na expressão A^100 = -1 & 1 1 & 1 2^100 & 0 0 & 4^100 -12 & 12 12 & 12 :
Esse produto resultará na matriz , onde cada elemento é calculado multiplicando as matrizes na ordem correta.

Resposta

A matriz A^100 = P D^100 P^-1 = -1 & 1 1 & 1 2^100 & 0 0 & 4^100 -12 & 12 12 & 12 é dada por:
Você pode calcular os produtos das matrizes para obter os valores numéricos finais de cada elemento em .

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