Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A é simétrica.
A=[ccc 2 & a-2 b+2 c & 2 a+b+c 3 & 5 & a+c 0 & -2 & 7 ]

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os valores de , e que tornam a matriz simétrica. Matrizes simétricas são aquelas em que , ou seja, os elementos são iguais em relação à diagonal principal. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das matrizes simétricas e como igualar os elementos correspondentes de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 2 & a - 2b + 2c & 2a + b + c 3 & 5 & a + c 0 & -2 & 7 e sua transposta A^T = 2 & 3 & 0 a - 2b + 2c & 5 & -2 2a + b + c & a + c & 7 :
A transposta de , , é obtida trocando as linhas pelas colunas:

Passo 3

Para que seja simétrica, precisamos que . Isso significa que cada elemento deve ser igual a . Vamos comparar os elementos correspondentes:
  1. :
  2. :
  3. :

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a - 2b + 2c = 3 (1) 2a + b + c = 0 (2) a + c = -2 (3)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da equação (3):
a + c = -2 Rightarrow a = -2 - c (4)
Agora, substituímos (-2 - c) - 2b + 2c = 3 -2 - c - 2b + 2c = 3 -2 + ( -c + 2c ) - 2b = 3 -2 + c - 2b = 3 da equação (4) nas equações (1) e (2):
Substituindo em (1):
c - 2b = 5 (5)
Arrumando:
2(-2 - c) + b + c = 0 -4 - 2c + b + c = 0 -4 - c + b = 0
Substituindo em (2):
b - c = 4 (6)
Arrumando:

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
c - 2b = 5 (5) b - c = 4 (6)
Podemos resolver esse sistema. Vamos somar as duas equações para eliminar (c - 2b) + (b - c) = 5 + 4 (-b) = 9 b = -9 :

Passo 7

Agora que encontramos -9 - c = 4 -c = 13 c = -13 , substituímos esse valor na equação (6) para encontrar :

Passo 8

Com a = -2 - (-13) a = -2 + 13 a = 11 , usamos a equação (4) para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a matriz boxed a = 11, b = -9, c = -13 simétrica são:

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