Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(2,0),(0,2) :
a) Ache as matrizes mudança de base [M]beta^alpha,[M]gamma^beta e [M]alpha^gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases no espaço vetorial :
  • (a base padrão),
  • ,
  • .
O que a gente precisa fazer é encontrar as matrizes de mudança de base: , e . Essas matrizes servem para converter coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Suponha que você tenha um vetor representado na base e queira encontrá-lo na base . A matriz de mudança de base faz essa conversão. Basicamente, ela traduz as coordenadas do vetor de uma base para a outra.

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base [M]beta^alpha = -1 & 1 1 & 1 . Isso significa que queremos expressar os vetores da base na base .
A base é a padrão, então qualquer vetor na já está na forma mais simples. Agora, para cada vetor em , vamos encontrar suas coordenadas na base .
  • O primeiro vetor de é . Como a base é , as coordenadas permanecem .
  • O segundo vetor de é . Aqui também, as coordenadas na base são .
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base a(-1) + b(1) = 2 a(1) + b(1) = 0 . Isso significa que queremos expressar os vetores da base a(-1) + b(1) = 0 a(1) + b(1) = 2 na base [M]gamma^beta = -1 & 1 1 & 1 .
Primeiro, precisamos entender como os vetores de podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de .
  • O primeiro vetor de é . Vamos resolver o sistema:
Resolvendo isso, encontramos e .
  • O segundo vetor de é . Resolvendo:
Encontramos e .
Agora, colocamos esses coeficientes como colunas na matriz :

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a matriz de mudança de base [M]alpha^gamma = 12 & 0 0 & 12 . Isso significa que queremos expressar os vetores da base na base .
Como a base é , que são múltiplos dos vetores da base , fica mais fácil:
  • O primeiro vetor de é . Para expressá-lo na base , percebemos que , então as coordenadas são .
  • O segundo vetor de é . Similarmente, , então as coordenadas são .
Montamos a matriz :

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[M]beta^alpha = -1 & 1 1 & 1 , [M]gamma^beta = -1 & 1 1 & 1 , [M]alpha^gamma = 12 & 0 0 & 12

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