Sejam
e
:
a) Ache as matrizes mudança de base
e
.
a) Ache as matrizes mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases no espaço vetorial
:
-
(a base padrão), -
, -
.
O que a gente precisa fazer é encontrar as matrizes de mudança de base:
,
e
. Essas matrizes servem para converter coordenadas de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Suponha que você tenha um vetor representado na base
e queira encontrá-lo na base
. A matriz de mudança de base
faz essa conversão. Basicamente, ela traduz as coordenadas do vetor de uma base para a outra.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base
. Isso significa que queremos expressar os vetores da base
na base
.
A base
é a padrão, então qualquer vetor na
já está na forma mais simples. Agora, para cada vetor em
, vamos encontrar suas coordenadas na base
.
- O primeiro vetor de
é . Como a base é , as coordenadas permanecem . - O segundo vetor de
é . Aqui também, as coordenadas na base são .
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base
. Isso significa que queremos expressar os vetores da base
na base
.
Primeiro, precisamos entender como os vetores de
podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de
.
- O primeiro vetor de
é . Vamos resolver o sistema:
Resolvendo isso, encontramos
e
.
- O segundo vetor de
é . Resolvendo:
Encontramos
e
.
Agora, colocamos esses coeficientes como colunas na matriz
:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a matriz de mudança de base
. Isso significa que queremos expressar os vetores da base
na base
.
Como a base
é
, que são múltiplos dos vetores da base
, fica mais fácil:
- O primeiro vetor de
é . Para expressá-lo na base , percebemos que , então as coordenadas são . - O segundo vetor de
é . Similarmente, , então as coordenadas são .
Montamos a matriz
:
Resposta
As matrizes de mudança de base são: