Considere um operador linear T: R^3 R^3 com os autoespaços V1=[lx y z] ; x=y e V-2=[lx y z] ; y=z=0, associados ao autovalor lambda=1 e lambda=-2, nesta ordem
a) Existe uma base beta tal que [T]beta^beta é uma matriz diagonal? Exiba a base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se existe uma base beta para o espaço R^3 onde a matriz do operador linear T seja diagonal. Estamos trabalhando com espaços vetoriais e autovalores, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender os espaços próprios dados e ver se podemos formar uma base com vetores próprios que deixem a matriz de T diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os espaços próprios. Temos dois espaços dados:
  1. V1 = x y z ; x = y asociado ao autovalor lambda = 1.
  2. V-2 = x y z ; y = z = 0 asociado ao autovalor lambda = -2.

Passo 3

Vamos analisar V1. A condição x = y significa que os vetores nesse espaço têm a forma x x z . Podemos escolher dois vetores independentes desse espaço, por exemplo:
  • 1 1 0
  • 0 0 1
Esses dois vetores formam uma base para V1.

Passo 4

Agora, vamos olhar para V-2. A condição y = z = 0 implica que os vetores têm a forma x 0 0 . Um vetor não nulo desse espaço é:
  • 1 0 0
Este vetor forma uma base para V-2.

Passo 5

Agora, juntamos as bases dos espaços próprios para formar uma base beta para R^3. Assim, temos:
beta = 1 1 0 , 0 0 1 , 1 0 0
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é igual à dimensão de R^3 (2 + 1 = 3), e temos três vetores linearmente independentes, T é diagonalizável.

Resposta

Sim, existe uma base beta = 1 1 0 , 0 0 1 , 1 0 0 tal que [T]beta^beta é uma matriz diagonal.

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