Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(i) f: R^2 R^2, definida por f(x, y)=(x+y, x-y);
(ii) g: R^2 R, definida por f(x, y)=x y;
(iii) T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+y, x z);
(iv) S: P2[x](R) R^3, definida por S(p(x))=(p(0), p^prime(0), p^prime prime(0));
(v) T(x, y)=(1+x, y)
(vi) T(x, y)=(y, x)
(vii) T: Mn times n(R) Mn times n(R) definida por T X=A X, onde A in Mn times n(R).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que pede para a gente descobrir quais dessas funções são aplicações lineares. Isso envolve entender o que é uma aplicação linear na Álgebra Linear. Basicamente, uma aplicação é linear se ela respeita duas propriedades principais: adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se para duas entradas quaisquer, a soma das aplicações for igual à aplicação da soma, e se multiplicar uma entrada por um número e aplicar a função for o mesmo que aplicar a função e depois multiplicar o resultado pelo número. Vamos ver cada função uma por uma pra ver se elas cumprem essas regras.

Passo 2

Função (i): f((x1, y1) + (x2, y2)) = f(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) , definida por (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2) = f(x1, y1) + f(x2, y2) .
Primeiro, vamos verificar se a função respeita a adição:
Para dois vetores f(c(x, y)) = f(cx, cy) = (cx + cy, cx - cy) = c(x + y, x - y) = c cdot f(x, y) e ,
Isso é igual a:
Agora, vamos ver a multiplicação por escalar:
Para um escalar ,
Como as duas propriedades são satisfeitas, a função é uma aplicação linear.

Passo 3

Função (ii): g((x1, y1) + (x2, y2)) = g(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2) , definida por x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 .
Vamos começar verificando a adição:
Para dois vetores g(x1, y1) + g(x2, y2) = x1 y1 + x2 y2 e ,
Expandindo:
Por outro lado,
Claramente, , a menos que algumas condições especiais sejam satisfeitas, o que não é o caso geral.
Portanto, a função não é uma aplicação linear.

Passo 4

Função (iii): T((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2)(z1 + z2)) , definida por x1 z1 + x1 z2 + x2 z1 + x2 z2 .
Primeiro, vamos verificar a adição:
Para dois vetores T(x1, y1, z1) + T(x2, y2, z2) = (x1 + y1, x1 z1) + (x2 + y2, x2 z2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 z1 + x2 z2) e ,
Expandindo a segunda coordenada:
Por outro lado,
Claramente, as duas expressões não são iguais devido aos termos cruzados e .
Logo, a função não é uma aplicação linear.

Passo 5

Função (iv): S(p(x) + q(x)) = ((p + q)(0), (p + q)'(0), (p + q)''(0)) = (p(0) + q(0), p'(0) + q'(0), p''(0) + q''(0)) , definida por S(p(x)) + S(q(x)) = (p(0), p'(0), p''(0)) + (q(0), q'(0), q''(0)) = (p(0) + q(0), p'(0) + q'(0), p''(0) + q''(0)) .
Aqui, estamos lidando com polinômios de grau até 2 e mapeando para S(c cdot p(x)) = ((c cdot p)(0), (c cdot p)'(0), (c cdot p)''(0)) = (c cdot p(0), c cdot p'(0), c cdot p''(0)) = c cdot (p(0), p'(0), p''(0)) = c cdot S(p(x)) pelos valores da função e suas derivadas no ponto 0.
Vamos verificar a adição:
Para dois polinômios e ,
Isso é igual a:
Agora, para a multiplicação por escalar ,
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a função é uma aplicação linear.

Passo 6

Função (v): T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (1 + (x1 + x2), y1 + y2) = (1 + x1 + x2, y1 + y2) .
Vamos começar verificando a adição:
Para dois vetores T(x1, y1) + T(x2, y2) = (1 + x1, y1) + (1 + x2, y2) = (2 + x1 + x2, y1 + y2) e ,
Por outro lado,
Vemos que , a menos que , o que não é verdade.
Portanto, a função não é uma aplicação linear.

Passo 7

Função (vi): T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (y1 + y2, x1 + x2) .
Vamos verificar a adição:
Para dois vetores T(x1, y1) + T(x2, y2) = (y1, x1) + (y2, x2) = (y1 + y2, x1 + x2) e T(c cdot (x, y)) = T(cx, cy) = (cy, cx) = c cdot (y, x) = c cdot T(x, y) ,
E,
As duas expressões são iguais.
Agora, para a multiplicação por escalar ,
Como as duas propriedades são satisfeitas, a função é uma aplicação linear.

Passo 8

Função (vii): T(X + Y) = A (X + Y) = A X + A Y = T(X) + T(Y) , definida por T(c X) = A (c X) = c (A X) = c cdot T(X) , onde é uma matriz fixa em .
Vamos verificar a adição:
Para duas matrizes e ,
Agora, para a multiplicação por escalar ,
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a função é uma aplicação linear.

Resposta

As funções que são aplicações lineares são:
  • (i)
  • (iv)
  • (vi)
  • (vii) , onde é uma matriz fixa em
As demais funções não são aplicações lineares.

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