Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(i)
, definida por
;
(ii)
, definida por
;
(iii)
definida por
;
(iv)
, definida por
,
;
(v)
(vi)
(vii)
definida por
, onde
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que pede para a gente descobrir quais dessas funções são aplicações lineares. Isso envolve entender o que é uma aplicação linear na Álgebra Linear. Basicamente, uma aplicação é linear se ela respeita duas propriedades principais: adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se para duas entradas quaisquer, a soma das aplicações for igual à aplicação da soma, e se multiplicar uma entrada por um número e aplicar a função for o mesmo que aplicar a função e depois multiplicar o resultado pelo número. Vamos ver cada função uma por uma pra ver se elas cumprem essas regras.
Passo 2
Função (i):
, definida por
.
Primeiro, vamos verificar se a função respeita a adição:
Para dois vetores
e
,
Isso é igual a:
Agora, vamos ver a multiplicação por escalar:
Para um escalar
,
Como as duas propriedades são satisfeitas, a função
é uma aplicação linear.
Passo 3
Função (ii):
, definida por
.
Vamos começar verificando a adição:
Para dois vetores
e
,
Expandindo:
Por outro lado,
Claramente,
, a menos que algumas condições especiais sejam satisfeitas, o que não é o caso geral.
Portanto, a função
não é uma aplicação linear.
Passo 4
Função (iii):
, definida por
.
Primeiro, vamos verificar a adição:
Para dois vetores
e
,
Expandindo a segunda coordenada:
Por outro lado,
Claramente, as duas expressões não são iguais devido aos termos cruzados
e
.
Logo, a função
não é uma aplicação linear.
Passo 5
Função (iv):
, definida por
.
Aqui, estamos lidando com polinômios de grau até 2 e mapeando para
pelos valores da função e suas derivadas no ponto 0.
Vamos verificar a adição:
Para dois polinômios
e
,
Isso é igual a:
Agora, para a multiplicação por escalar
,
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a função
é uma aplicação linear.
Passo 6
Função (v):
.
Vamos começar verificando a adição:
Para dois vetores
e
,
Por outro lado,
Vemos que
, a menos que
, o que não é verdade.
Portanto, a função
não é uma aplicação linear.
Passo 7
Função (vi):
.
Vamos verificar a adição:
Para dois vetores
e
,
E,
As duas expressões são iguais.
Agora, para a multiplicação por escalar
,
Como as duas propriedades são satisfeitas, a função
é uma aplicação linear.
Passo 8
Função (vii):
, definida por
, onde
é uma matriz fixa em
.
Vamos verificar a adição:
Para duas matrizes
e
,
Agora, para a multiplicação por escalar
,
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a função
é uma aplicação linear.
Resposta
As funções que são aplicações lineares são:
- (i)
- (iv)
- (vi)
- (vii)
, onde é uma matriz fixa em
As demais funções não são aplicações lineares.