Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o polinômio característico da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente estudando matrizes e seus polinômios característicos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, o que envolve determinantes e substituições de identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como , onde é a matriz dada, é um escalar (às vezes chamado de autovalor), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Ou seja, precisamos subtrair vezes a identidade de e calcular o determinante do resultado.
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então, fica:
Subtraindo isso de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Vamos calcular cada determinante menor:
(pois há uma linha de zeros)
(também há uma linha de zeros)
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos expandir esse polinômio para deixá-lo na forma padrão: