Considere
Calcule o polinômio característico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o polinômio característico da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente estudando matrizes e seus polinômios característicos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, o que envolve determinantes e substituições de identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como , onde é a matriz dada, é um escalar (às vezes chamado de autovalor), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Ou seja, precisamos subtrair vezes a identidade de e calcular o determinante do resultado.

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então, fica:
Subtraindo isso de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Vamos calcular cada determinante menor:
  1. (pois há uma linha de zeros)
  2. (também há uma linha de zeros)
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos expandir esse polinômio para deixá-lo na forma padrão:
Multiplicando:
Somando termos semelhantes:

Resposta

O polinômio característico de é .

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