Considere
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3 )
Calcule o polinômio característico de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o polinômio característico da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente estudando matrizes e seus polinômios característicos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, o que envolve determinantes e substituições de identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como , onde é a matriz dada, é um escalar (às vezes chamado de autovalor), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Ou seja, precisamos subtrair vezes a identidade de e calcular o determinante do resultado.

Passo 3

Vamos montar a matriz I = (lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) . A matriz identidade lambda I = (lll lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda ) para uma matriz 3x3 é:
A - lambda I = (lll 1 - lambda & 1 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 3 - lambda )
Então, fica:
Subtraindo isso de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det (ll 1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda ) - 1 cdot det (ll 0 & 0 0 & 3 - lambda ) + 2 cdot det (ll 0 & 1 - lambda 0 & 1 ) . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
ll 1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda
Vamos calcular cada determinante menor:
  1. ll 0 & 0 0 & 3 - lambda
  2. ll 0 & 1 - lambda 0 & 1 (pois há uma linha de zeros)
  3. det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(3 - lambda) - 1 cdot 0 + 2 cdot 0 = (1 - lambda)^2 (3 - lambda) (também há uma linha de zeros)
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos expandir esse polinômio para deixá-lo na forma padrão:
(1 - lambda)^2 (3 - lambda) = (1 - 2lambda + lambda^2)(3 - lambda)
Multiplicando:
= 1 cdot 3 + 1 cdot (-lambda) - 2lambda cdot 3 - 2lambda cdot (-lambda) + lambda^2 cdot 3 + lambda^2 cdot (-lambda)
= 3 - lambda - 6lambda + 2lambda^2 + 3lambda^2 - lambda^3
Somando termos semelhantes:
= -lambda^3 + (2lambda^2 + 3lambda^2) + (-lambda - 6lambda) + 3
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3

Resposta

O polinômio característico de é .

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