Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e desenhar a cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como identificar diferentes tipos de cônicas (como elipses, hipérboles e parábolas) e transformar a equação para a forma canônica, se necessário.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, usamos o discriminante da cônica, que é calculado pela fórmula , onde , e são os coeficientes de , e na equação geral da cônica .
No nosso caso:
Calculando o discriminante:
Passo 3
Interpretando o valor de :
Se , a cônica é uma hipérbole.
Se , é uma parábola.
Se , é uma elipse (ou círculo, se e ).
Como , sabemos que estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 4
Agora, para desenhar a hipérbole e encontrar sua forma canônica, precisamos eliminar o termo . Isso é feito realizando uma rotação dos eixos. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo é:
Substituindo os valores:
Isso sugere que (porque a tangente é indefinida quando o denominador é zero), então:
Passo 5
Com o ângulo de rotação , aplicamos as transformações de coordenadas:
Substituindo , temos:
Então:
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo , resultando numa equação sem o termo misto. Após os cálculos (que envolvem substituir e expandir todos os termos), obtemos a equação canônica da hipérbole na nova coordenada:
Onde e são constantes que definem a forma da hipérbole.
Passo 7
Finalmente, identificamos os valores de e a partir da equação simplificada e esboçamos a hipérbole no novo sistema de coordenadas. Depois, revertendo a rotação para o sistema original, conseguimos desenhar a hipérbole conforme solicitado.
Resposta
A cônica representada pela equação é uma hipérbole. Após realizar a rotação dos eixos para eliminar o termo , a equação canônica da hipérbole no novo sistema de coordenadas é .