Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e desenhar a cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como identificar diferentes tipos de cônicas (como elipses, hipérboles e parábolas) e transformar a equação para a forma canônica, se necessário.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, usamos o discriminante da cônica, que é calculado pela fórmula , onde , e são os coeficientes de , e na equação geral da cônica .
No nosso caso:
Calculando o discriminante:

Passo 3

Interpretando o valor de :
  • Se , a cônica é uma hipérbole.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma elipse (ou círculo, se e ).
Como , sabemos que estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 4

Agora, para desenhar a hipérbole e encontrar sua forma canônica, precisamos eliminar o termo . Isso é feito realizando uma rotação dos eixos. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo é:
Substituindo os valores:
Isso sugere que (porque a tangente é indefinida quando o denominador é zero), então:

Passo 5

Com o ângulo de rotação , aplicamos as transformações de coordenadas:
Substituindo , temos:
Então:

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo , resultando numa equação sem o termo misto. Após os cálculos (que envolvem substituir e expandir todos os termos), obtemos a equação canônica da hipérbole na nova coordenada:
Onde e são constantes que definem a forma da hipérbole.

Passo 7

Finalmente, identificamos os valores de e a partir da equação simplificada e esboçamos a hipérbole no novo sistema de coordenadas. Depois, revertendo a rotação para o sistema original, conseguimos desenhar a hipérbole conforme solicitado.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma hipérbole. Após realizar a rotação dos eixos para eliminar o termo , a equação canônica da hipérbole no novo sistema de coordenadas é .

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