Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(b) S=(x, y) / 3 x+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse conjunto de vetores . Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar esses critérios a .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço (no caso, de ) precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos substituir 3(0) + 0 = 0 e 0 = 0 na equação :
Então, o vetor está em . ✅

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer 3x1 + y1 = 0 e 3x2 + y2 = 0 em 3(x1 + x2) + (y1 + y2) = 3x1 + 3x2 + y1 + y2 = (3x1 + y1) + (3x2 + y2) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz a equação:
Portanto, a soma está em . ✅

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer 3(lambda x) + (lambda y) = lambda (3x + y) = lambda cdot 0 = 0 em e multiplicá-lo por um escalar . Assim, temos .
Vamos verificar se esse vetor também está em :
Portanto, o vetor também está em . ✅

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas, o conjunto é um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados