Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse conjunto de vetores . Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar esses critérios a .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço (no caso, de ) precisa satisfazer três condições básicas:
Contém o vetor zero: O vetor precisa estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também precisa estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos substituir e na equação :
Então, o vetor está em . ✅
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que:
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz a equação:
Portanto, a soma está em . ✅
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em e multiplicá-lo por um escalar . Assim, temos .
Vamos verificar se esse vetor também está em :
Portanto, o vetor também está em . ✅
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas, o conjunto é um subespaço vetorial.