Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse conjunto de vetores
. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar esses critérios a
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço (no caso, de
) precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos substituir e
na equação
:
Vamos substituir
Então, o vetor
está em
. ✅
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e
em
. Isso significa que:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz a equação:
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz a equação:
Portanto, a soma está em
. ✅
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
e multiplicá-lo por um escalar
. Assim, temos
.
Vamos verificar se esse vetor também está em :
Vamos pegar um vetor qualquer
Vamos verificar se esse vetor também está em
Portanto, o vetor
também está em
. ✅
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas, o conjunto
é um subespaço vetorial.